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零因子
鎖定
- 中文名
- 零因子
- 外文名
- zero divisor
- 別 名
- 零除元
- 屬 性
- 環的一種特殊的非零元
- 分 類
- 左零因子、右零因子
零因子定義
眾所周知，在數的普通乘法中，如果a≠0，b≠0，則必有ab≠0，但這一性質在一般環中不再成立。
設a≠0是環R的一個元素，如果在R中存在元素b≠0使ab=0，則稱a為環R的一個左零因子，同樣可定義右零因子。
左、右零因子統稱為零因子，只在有必要區分時才加左或右。
零因子例題解析
例1 設R為由一切形如
例2 數域F上二階全陣環中，
既是左零因子又是右零因子，因為有
數環以及數域上的多項式環，都無零因子。
零因子相關概念
整環 階大於1、有單位元且無零因子的交換環稱為整環。
例如，整數環和數域上的多項式環都是整環，而例1和例2中的方陣環都不是整環，整環的定義在不同的書中往往稍有差異，請予留意。
特徵數 若環R的元素(對加法)有最大階n，則稱n為環R的特徵(或特徵數)，若環R的元素(對加法)無最大階，則稱R的特徵是無限（或零）用char R表示環R的特徵。
由於有限羣中每個元素的階都有限，故有限環的元素對加法有最大階，從而有限環的特徵必有限，但是，無限環的特徵也可能有限，顯然，一階環即僅包含零元素的環，其特徵是1。而在數環中，除去{0}外，其特徵均無限。一般來説，環中各元素(對加法)的階是不相等的，但對無零因子的環來説，這種情況不會發生。
[3]
零因子相關定理與性質
零因子定理1
在環R中，若a不是左零因子，則
證明 由
得
同理可證另一結論。
如果對環R中任意元素a≠0，b，c，(1)成立，則稱環R滿足左消去律；若(2)成立，則稱R滿足右消去律。
零因子推論
若環R無左(或右)零因子，則消去律成立；反之，若R中有一個消去律成立，則R無左及右零因子，且另一個消去律也成立。
證明 由於當R無左零因子時，R也無右零因子，故由定理1即得消去律成立，反之，設在R中左消去律成立，且
零因子定理2
設R是一個無零因子環，且
，則
1)R中所有非零元素(對加法)的階均相同；
2)若R的特徵有限，則必為素數。
由此定理知，特別地，任何階大於1的有限環若無零因子，則其特徵都是素數。
如果環R的特徵是素數p，且R又是一個交換環，則對R中任意元素
必有
當環有單位元時其特徵更明顯。
零因子定理3
證明 若單位元1在(R，+)中的階無限，則R的特徵當然無限；若1的階是正整數n，則在R中任取a≠o，有
