數環

數環，是數集的一種代數結構，至少含一個數的數集S，若對加法、減法、乘法封閉，即對S中的任意二數a、b，a+b、a-b、a·b都在S中，則稱S構成數環。 ^[2] 

如果一個數集中的任意兩個數，經過某種運算所得的結果仍是這個數集中的數，那麼就説這個數集關於這種運算封閉。

這樣，數環就是關於加法、減法、乘法運算封閉的非空數集。代數學中環的概念正是數環概念的推廣和一般化。

只由一個數0組成的集合，即{0}，也是數環，因為0+0=0，0-0=0，0×0=0，這個數環叫做零環，它是最小的數環，即其它所有的數環都包含它。

若數環S含非零數a，則S必含無窮多個數。

全體整數集Z是一個數環，因為整數的和、差、積還數，這個數環叫整數環。

自然數集不是一個數環，因為自然數的差不一定是自然數。

對某個整數n，n的所有整數倍的集合構成數環，特別，n=2，全體偶數集構成數環，稱為偶數環，記做2Z。

全體有理數集Q、全體實數集R、全體複數集C都構成數環，分別稱為整數環Z、有理數環Q、實數環R和複數環C。整數環Z中帶餘除法定理成立，整數論正是研究整數環性質的有關理論。 ^[2] 

全體奇數集不能構成數環，因為，兩個奇數的和不再是奇數。

全體形如3n+2的整數集也不構成數環。

全體形如

(m、n為整數)的數集構成數環。

性質1 任何數環都包含數零（即零環是最小的數環）。

性質2 設S是一個數環，若a∈S，則na∈S(n∈Z)。

性質3 若M、N都是數環，則M∩N也是數環。

例1自然數全體對數的四則運算是否形成環或域?

解：自然數全體對數的加法、乘法不形成環，也不形成域。

因為兩個自然數相減不一定還是自然數，所以自然數關於數的加、減、乘不形成環，也不形成域。

例2證明，如果一個數環S≠{o)，那麼S含有無限多個數。

證明：設

，由數環的性質，則

，從而

均屬於S，且當

時，

，從而得證S含有無限多個數。

例3證明，兩個數環的交還是一個數環；兩個數環的並是不是數環?

證明：(i)設

是兩個數環，

，於是

且

，從而

，且

，因此

，故

是數環。

(ii)兩個數環的並不一定是數環，例如，

，顯然

，則

，但

，故

不是數環。 ^[3] 

環是近世代數學中一個重要概念。對一個集規定兩種代數運算(通常分別稱為加法和乘法)，使加法滿足結合律及交換律，乘法滿足結合律，乘法對於加法滿足分配律；這集中還有零元素，就是與集中的任何元素相加結果仍等於該元素的一種元素，井且每個元素都有負元素，任何元素與其負元素相加等於零元素：這種集稱為“環”。如果環的乘法滿足交換律，稱為“交換環”。以數為元素的環稱為“數環”；例如，整數的全體構成一個數環。 ^[4] 

定義設F是一個數環，如果

(i)F含有一個不等於零的數；

(ii)如果

，且

，則

．

那麼就稱F是一個數域。

數域的一個基本結論任何數域都包含有理數域Q。