有限羣

設G是一個羣， 如果G是有限集合，那麼就稱為有限羣。

假若羣G是一個有限羣，則組成G的元的個數為G的階，記為 |G|。

有限羣G的元稱為p冪幺元，若其階為p的冪；稱為p正則元，若其階與p互素。 ^[5] 

有限羣論是羣論的基礎部分，也是羣論中應用最為廣泛的一個分支。歷史上，抽象羣論的許多概念起源於有限羣論。近年來，隨着有限羣理論的迅速發展，其應用的日益增多，有限羣論已經成為現代科技的數學基礎之一，是一般科技工作者樂於掌握的一個數學工具。有限羣論無論是從理論本身還是從實際應用來説，都佔有突出地位，它中的置換羣、可解和非可解羣、冪零羣、以及羣表示論等等，都是重要的研究對象，總之，其內容十分豐富而且龐大。

有限羣的研究起源很早，其形成時期是與柯西、拉格朗日、高斯、阿貝爾以及後來的伽羅瓦、若爾當等人的名字相聯繫的。1829年伽羅瓦（Galois）引入了置換羣的概念，併成功地解決了一個方程可用根式求解的充要條件。置換羣是羣論歷史上最先知道的一種具體的羣。拉格朗日和高斯在研究數論中的二次型類是出現過交換羣的概念；Cayley（凱萊）曾經在1849年提出過抽象羣，但這個概念的價值當時沒有被認識到，遠遠超越時代的Dedekind（戴德金）在1858年給有限羣下了一個抽象的定義，這個羣是從置換羣中引導出來的，他又在1877年提出了一個抽象的有限交換羣。Kronecker（克羅內克）也給出了一個相當於阿貝爾羣的定義，他規定了抽象的元素，運算，封閉性，結合性，交換性。以每個元素的逆運算的存在和唯一。他還證明了一些有關羣的定理。1878年又是凱萊提出了一個羣可以看作一個普遍的概念。毋需只限於置換羣，這樣認識到抽象羣比置換羣包含更多的東西。德國數學家霍爾德在l889年以後的若干年內，詳細地研究了單羣和可解羣，證明：一個素數階循環羣是單羣，n個（n>=5）文字的全部偶置換組成的交換羣是單羣。他還發現了許多其他有艱的單羣。赫爾德和若爾當還建立了在有限羣中的若爾當一霍爾德合成羣列和若爾當一霍爾德定理。在19世紀末，德國數學家弗羅貝尼烏斯、迪克和英國數學家伯恩塞德等都致力於可解羣的研究。20世紀初伯恩塞德證明的關於 (p,q是素數）必是可解羣的定理，導致了對有限單羣進行分類的重要研究。美國數學家湯普森和菲特在20世紀60年代初證明了有限羣中長期懸而未決的一個猜想（伯恩塞德猜想）；奇數階羣一定是可解羣。它推動了有限羣理論的發展。有限單羣的完全分類，即找出有限單羣所有的同構類，經過上百名數學家約百年的共同努力．於1981年得到完全解決，這是數學史上的一個非凡成就。 ^[1] 

比如素數階的有限羣都是循環羣。 ^[2] 

有限羣的分類是個重要的數學問題。這個問題經過許多數學家的努力中有了完美的答案（相關概念如“魔羣”）。

Z表示循環羣，S表示置換羣，A表示交錯羣，D表示二面羣，×表示直積。

羣中長期懸而未決的一個猜想，奇數階的羣一定是可解羣，因而有限非交換單羣的階必為偶數。

有限羣理論中一個經典而重要的結果是著名的拉格朗日定理：有限羣G的階│G│等於G的子羣H的階│H│與H在G內的指數│G:H│的乘積，即│G│=│H│·│G:H│。但是，並非對│G│的任何因數d,G一定有階為d的子羣。例如，四次交錯羣A4的階為12，而A4沒有6階子羣（見置換羣）。當│G│的因數是pk形的數即一素數p的k次冪時，則G必有階為pk的子羣。這就是有名的西羅第一定理。若除盡│G│的p的最高次冪是pm，其中p是素數，m是自然數，則G的pm階子羣稱為西羅p子羣。所謂西羅第二定理，其意為：①G中任兩個西羅p子羣在G內是共軛的；②G中西羅p子羣的個數N，必滿足N呏1（modp），且為任一西羅p子羣的正規化子在G內的指數；③G中凡是階為pk的子羣必為某西羅p子羣的子羣。進一步有關於有限可解羣的西羅基定理：G為可解羣的公式

充分必要條件是G有一組西羅基S1，S2，…，Sr，使G=S1S2…Sr。所謂西羅基，是指當G的階（素因數分解）時，G的一組西羅pi子羣Si，i=1，2，…，r，且，使。可解羣的西羅基往往不止一組，但是，可解羣的任意兩組西羅基S1,S2，…，Sr與p1，p2，…，Sr是等價的，即在G中必有元素g使。階為素數冪的羣，習慣上稱為p羣。西羅子羣都是 p羣。有限可解羣可以表為p羣之積。西羅第一定理和第二定理統稱為西羅定理。在有限可解羣中可得到西羅定理推廣的結果：有限羣G為可解羣的充分必要公式

條件是，只要有分解│G│=mn,(m,n)=1，G就有階為m的子羣；當G是可解羣時，凡是階為m的子羣必互為共軛，若m1│m，則G中凡是階為m1的子羣必為G中至少一個階為m的子羣的子羣。這樣的m階子羣，通常稱為可解羣G中的霍爾π子羣。　所謂羣的π 性質，意即西羅性質的推廣。西羅性質是西羅定理的同義語，即如果有限羣G的階|G|=g,h│g，（h,g/h)=1,h為素數冪，那麼G至少有一個h階子羣，且任意兩個h階子羣是共軛的，而G中凡是以h的因數為階的子羣，一定是G中某個h階子羣的子羣。P.霍爾去掉上述條件中的“h為素數冪”而設“G是可解羣”並得到了同樣的結論。於是，根據P.霍爾的這一思想方法，將“h為素數冪”改為其他條件來進行探索的工作頗多。例如，“h為素數冪”改為“G包含一個h階冪零子羣”，仍得到相應的結論，即古典的西羅定理推廣到含有h的一切素因數的集合π上所得的結果。 ^[3] 

當可解羣 G的西羅基中諸西羅子羣都是正規子羣時，則可解羣G稱為冪零羣。冪零羣是可解羣中的一個子類。有限羣G為冪零羣的充分必要條件是，G可表為p羣的直積。p羣自身當然是冪零羣。除公式

了這個充分必要條件外，還有幾個互為等價的充分必要條件，其中最重要的是，G有上中心列或下中心列。所謂上中心列，是指G有長為m的子羣列，使，且其中 Z1(G）為 G 的中心Z(G），而遞歸地給出Zk+1(G）使Zk+1(G)/Zk(G）是商羣G/Zk(G）的中心。由G的限性可知，必有某自然數k使，因此當m≥k時，恆有Zm(G)=Zk(G）。特別地，有某m使Zm(G)=G。所謂下中心列，是指G有長為n的子羣列。設H、K是G的任意兩個子集，【H,K】表示由形如 的元素所生成的G的子羣，即【H,K】=<；【h,k】│h∈H，k∈K>；，於是【H,K】=【K,H】。當【x1，…，xn】定義後，再遞歸地定義。同樣，對G的子集H1，…，Hn也作公式

類似的定義，且當任意xi∈G(i=1,2，…，n）時，則定義，因此，且。易知。從G的有限性可知，有某自然數k使。因此當m≥k時恆有Km(G)=Kk(G）。特別地，有自然數 n使Kn+1(G)=1。有限羣的上中心列和下中心列兩者同時存在，且其長相等，此時G必為冪零羣，稱為n類冪零羣。因而，1類冪零羣就是交換羣。由此可知，冪零羣是介於交換羣與可解羣之間的一類羣。冪零羣有下中心列，可解羣則有換位羣列。G為可解羣的充分必要條件是，G有換位羣列。所謂換位羣列，是指G的子羣列，式中為的換位子羣，即，而n是某一正整數。此時G也稱為n步可解羣。1步可解羣就是交換羣。

在有限羣的研究中，p羣具有重要的意義。互不同構的pn階羣究竟有多少個，是一個古老而艱難的問題。迄今只解決了當p為奇素數且n≤6時以及當p=2且n≤7時

階羣的個數問題 ^[6]  。關於p羣方面的工作頗多，其中由P.霍爾發表的計數原理與正則 p羣是奠基性的工作。所謂計數定理，例如，設公式

|G|=pn,Sk(G）表示G中pk階子羣的個數，其中0≤k≤n。當Sk(G)=1（1<k<n）時，則G必是循環羣；當S1(G)=1時；則G或為循環羣或可能為所謂廣義四元數羣，後者僅在p=2及n≥3時可能出現；對於0≤k≤n，有Sk(G）呏1(modp）。特別地，設G為非循環羣，p>2則對於1≤k≤n-1有（庫拉科夫定理）。又令Ck(G）表pn階羣G中pk階循環子羣的個數。設G是非循環羣，p>2，則對於1<k<n有Ck(G）呏0(modp）（米勒定理）。兩者以及其他的一些計數定理皆可用P.霍爾的計數原理來證明。在這方面華羅庚、段學復早在20世紀40年代就曾一起進行過一些工作。例如，設p>2,|G|=pn,pn-α為G中元素之階的最大數，且n≥2α+1，華羅庚於1945年證明了對於α+1≤m≤n-α有Cm(G)=p。段學復於1948年證明了對於 2α+1≤m≤n，Sm(G）與1，1+p，1+p+p2、1+p+2p2四者之一同餘mod p3。所謂正則 p羣，是指具有如下性質的p羣G：對於G的任意元素α、b恆可找到r個元素с1，с2，…，сr，使每個сi∈<；α，b>；┡=【<；α，b>；，<；α，b>；】即每個сi在由α、b生成的羣之換位子羣內，且有，其中自然數r隨元素α、b決定。交換p羣、階不超過pp的p羣以及冪零類小於p的p羣，都是正則p羣；換位子羣為循環羣而p為奇素數的p羣、凡非單位元的階等於p的p羣，也都是正則p羣。正則p羣在p羣中有眾多例子。但非正則p羣也是存在的，例如，p2次對稱羣中西羅p子羣就是pp+1階非正則p羣。

研究有限羣的一個重要方法。設A、B是已知的兩個羣，如果作一羣G，使得AG，且商羣G/A≌B，那麼羣G稱為B基於A的擴張。一般，B基於A的擴張不是唯一的，例如，A與B的直積A×B是B基於A的一個擴張，而A與B的半直積也是B基於A的擴張。所謂A與B的半直積為G，是指G=AB,AG，且A∩B=1（即B為A的補子羣）。A與B的半直積又稱為A的分離擴張。B基於A的擴張為 A與B的半直積的一個充分條件是：A的階與B的階互素。這就是著名的舒爾-扎森豪斯定理。當B為循環羣時，很容易決定擴張的構造。例如，m階循環羣基於n階循環羣的擴張，必為G=<；α，b>；，有定義關係αn=1，bm=αt,b-1αb=αr使滿足rm呏1（mod n）及t（r-1）呏0（modn）。因為有限羣有合成羣列，這裏，Gi/Gi+1是單羣。因此，Gr-1是單羣，且Gr-2是Gr-2/Gr-1基於Gr-1的擴張。若得知Gr-1的構造，則可藉助於擴張理論得知Gr-2的構造，從Gr-2的構造以及Gr-3是Gr-3/Gr-2基於Gr-2的擴張可知Gr-3的構造，如此繼續進行下去，則終究可得知G的構造。由此可見，研究單羣與擴張理論是有限羣研究的根本課題。

研究有限羣的一個重要方法。設 A是有限羣G的任一個子羣，將G表為A的右陪集的並集，即，於是│G:A│=n。令A┡=【A,A】，並作商羣A/A┡，且用表以G關於A┡的右陪集為元素的集合，若令，則知的每一元素可唯一表為μ=αμi，即唯一決定數碼i及交換羣A/A┡的一個代表元素α，α∈A，因此，對G的每一元素g，有，式中（1g,2g，…，ng）為（1,2，…，n）的一個排列，且αi,g∈A。作矩陣Mg=（αi,g）使其第i行第ig列交叉處的元素為αi,g(i=1,2，…，n），而其他處的元素均為0。易證。由此可知，映射g →Mg是G的一個同態映射，稱為G的單項表示。因A/A┡是交換羣，故可引進行列式，簡記為。於是，映射也是G的同態映射，即G到A/A┡內的同態映射，稱為G到子羣A的轉移。利用轉移方法可得出許多重要結果。例如，有限羣G的西羅p子羣p若包含於其正規化子的中心之內，即，則有G=Np，N G,N∩p=1。這就是又一個著名的伯恩賽德定理。由此可知，階為合數的單羣只有兩種可能：或為階被12整除的單羣或為階被8整除的單羣。

它是介乎冪零羣與可解羣之間的一類有限羣。所謂超可解羣，是指有限羣G有一個有限多個正規子羣的遞降列使每個商羣Gi-1/Gi為循環羣。因此，超可解羣是可解羣的特例，又是冪零羣的推廣。判斷有限羣G 為超可解羣有許多等價的充分必要條件，其中常見的有：①G的每個極大子羣的指數為素數；②G的主羣列的商因子皆為素數階的循環羣；③G的每一子羣H（≤G）都有一切可能階的子羣。

如果有限羣G公式

之合成羣列的每個商羣Gi-1/Gi（稱為G的合成商因子）是交換羣，那麼有限羣G稱為可解羣。易知，若G的合成商因子Gi-1/Gi是交換羣，則必為素數階的循環羣。所謂G的合成羣列，是指在G中由有限多個子羣組成的降鏈如，使得Gi是Gi-1的極大正規子羣，即，且凡滿足Gi<H<Gi-1的H不再是Gi-1的正規子羣。G的任意兩個合成羣列是等價的，意即如果與是G的任意兩個合成羣列，那麼必有s=r，且r個商羣H0/H1,H1/H2，…，Hr-1/Hr（即Hr-1）分別與r個商羣G0/G1,G1/G2，…，Gr-1/Gr（即Gr-1）除次序外是兩兩互相同構的。易證，由合成羣列G=G0>G1>；…>Gr=1所成的每公式

個商羣是單羣。

在羣G中由有限多個正規子羣組成的降鏈使Gi為真包含於Gi-1內的G之極大正規子羣（即Gi-1/Gi是G/Gi的極小正規子羣），稱為G的主羣列。G的任意兩個主羣列是等價的。其等價定義與合成羣列的等價定義相同。

有限羣有合成羣列或主羣列存在，且任意兩個合成羣列或主羣列是等價的。這就是若爾當-赫爾德-施賴埃爾定理。凡是階等於pαъ的羣恆為可解羣，其中p、是互異的素數，α、b是非負整數。這就是著名的伯恩賽德定理。而W.費特、J.湯普森在20世紀60年代初期又證明了有限。 ^[4] 

非可解羣中還有很多屬於數學的難題，許多數學家也發表了不少見解和猜想。如：

《最高階元素個數為40的非可解羣的分類 》、《具有一個很大交換子羣的有限非可解羣》等等。