羣論

羣的概念引發自多項式方程的研究，由埃瓦里斯特·伽羅瓦在19世紀30年代開創。在得到來自其他領域如數論和幾何學的貢獻之後，羣概念在1870年左右形成並牢固建立。現代羣論是非常活躍的數學學科，它以自己的方式研究羣。為了探索羣，數學家發明了各種概念來把羣分解成更小的、更好理解的部分，比如置換羣、子羣、商羣和單羣等。

羣論的重要性還體現在物理學和化學的研究中，因為許多不同的物理結構，如晶體結構和氫原子結構可以用羣論方法來進行建模。於是羣論和相關的羣表示論在物理學和化學中有大量的應用。

羣論是法國數學家伽羅瓦（Galois）的發明。伽羅瓦是一個極具傳奇性的人物，年僅21歲就英年早逝於一場近乎自殺的決鬥中。他用該理論，具體來説是伽羅瓦羣，解決了五次方程問題。在此之前柯西（Augustin-Louis Cauchy)，阿貝爾（Niels Henrik Abel）等人也對羣論作出了貢獻。

最先產生的是n個文字的一些置換所構成的置換羣，它是在研究當時代數學的中心問題即五次以上的一元多項式方程是否可用根式求解的問題時，經由J.-L.拉格朗日、P.魯菲尼、N.H.阿貝爾和E.伽羅瓦引入和發展，並有成效地用它徹底解決了這個中心問題。某個數域上一元n次多項式方程，它的根之間的某些置換所構成的置換羣被定義作該方程的伽羅瓦羣，1832年伽羅瓦證明了：一元 n次多項式方程能用根式求解的一個充分必要條件是該方程的伽羅瓦羣為“可解羣”（見有限羣）。由於一般的一元n次方程的伽羅瓦羣是n個文字的對稱羣S_n，而當n≥5時S_n不是可解羣，所以一般的五次以上一元方程不能用根式求解。

伽羅瓦還引入了置換羣的同構、正規子羣等重要概念。應當指出，A.-L.柯西早在1815年就發表了有關置換羣的第一篇論文，並在1844～1846年間對置換羣又做了很多工作。至於置換羣的系統知識和伽羅瓦用於方程理論的研究，由於伽羅瓦的原稿是他在決鬥致死前夕趕寫成的，直到後來才在C.若爾當的名著“置換和代數方程專論”中得到很好的介紹和進一步的發展。置換羣是最終產生和形成抽象羣的第一個最主要的來源。

在數論中，拉格朗日和C.F.高斯研究過由具有同一判別式D的二次型類，即f=ax^2+2bxy+cy^2，其中a、b、с為整數，x、y 取整數值，且D=b^2-aс為固定值，對於兩個型的"複合"乘法，構成一個交換羣。J.W.R.戴德金於1858年和L.克羅內克於1870年在其代數數論的研究中也引進了有限交換羣以至有限羣。這些是導致抽象羣論產生的第二個主要來源。

在若爾當的專著影響下，（C.）F.克萊因於1872年在其著名的埃爾朗根綱領中指出，幾何的分類可以通過無限連續變換羣來進行。克萊因和（J.-）H.龐加萊在對 "自守函數”的研究中曾用到其他類型的無限羣（即離散羣或不連續羣）。在1870年前後，索菲斯·李開始研究連續變換羣即解析變換李羣，用來闡明微分方程的解，並將它們分類。這無限變換羣的理論成為導致抽象羣論產生的第三個主要來源。

A.凱萊於1849年、 1854年和 1878年發表的論文中已然提到接近有限抽象羣的概念。F.G.弗羅貝尼烏斯於1879年和E.內託於1882年以及W.F.A.von迪克於 1882～1883年的工作也推進了這方面認識。19世紀80年代，綜合上述三個主要來源，數學家們終於成功地概括出抽象羣論的公理系統，大約在1890年已得到公認。20世紀初，E.V.亨廷頓，E.H.莫爾，L.E.迪克森等都給出過抽象羣的種種獨立公理系統，這些公理系統和現代的定義一致。

在1896～1911年期間，W.伯恩賽德的“有限羣論”先後兩版，頗多增益。G.弗羅貝尼烏斯、W.伯恩賽德、I.舒爾建立起有限羣的矩陣表示論後，有限羣論已然形成。無限羣論在20世紀初，也有專著，如1916年Ο.ю.施米特的著作。羣論的發展導致20世紀30年代抽象代數學的興起。尤其是近30年來，有限羣論取得了巨大的進展，1981年初，有限單羣分類問題的完全解決是一個突出的成果。與此同時，無限羣論也有快速的進展。

時至今日，羣的概念已經普遍地被認為是數學及其許多應用中最基本的概念之一。它不但滲透到諸如幾何學、代數拓撲學、函數論、泛函分析及其他許多數學分支中而起着重要的作用，還形成了一些新學科如拓撲羣、李羣、代數羣、算術羣等，它們還具有與羣結構相聯繫的其他結構如拓撲、解析流形、代數簇等，並在結晶學、理論物理、量子化學以至（代數）編碼學、自動機理論等方面，都有重要的應用。作為推廣“羣”的概念的產物：半羣和幺半羣理論及對計算機科學和對算子理論的應用，也有很大的發展。羣論的計算機方法和程序的研究，已在迅速地發展。

就科學內容而言，羣論屬於數學範疇，在許多數學分支中都有它的應用。它還被廣泛用於物理、化學及工程科學等許多領域，尤其是物理學成為受惠最多的學科。從經典物理中對稱性和守恆律的研究到量子力學中角動量理論及動力學對稱性的探索再到同位旋、超荷和SU（3）對稱性在現代基本粒子物理中的應用等無不閃耀着羣論思想的光輝。 ^[1]  粗略地説，我們經常用羣論來研究對稱性，這些對稱性能夠反映出在某種變化下的某些變化量的性質。它也跟物理方程聯繫在一起。基礎物理中常被提到的李羣，就類似與伽羅瓦羣被用來解代數方程，與微分方程的解密切相關。

在物理上，置換羣是很重要的一類羣。置換羣包括S3羣，二維旋轉羣，三維旋轉羣以及和四維時空相對應的洛侖茲羣。洛侖茲羣加上四維變換就構成了Poincare羣。另外，晶體學中早期的關於晶體的各種結構的問題中，也是靠羣論中的費得洛夫羣的研究給出了答案。羣論指出，空間中互不相同的晶體結構只有確定的230種。

在研究羣時，使用表象而非羣元是較方便的，因為羣元一般來説都是抽象的事物。表象可以看成矩陣，而矩陣具有和羣元相同的性質。不可約表象和單位表象是表象理論中的重要概念。

在許多研究羣論的數學家眼中，也即指在抽象羣論中，數學家關心的是各元素間的運算關係，也即羣的結構，而不管一個羣的元素的具體含義是什麼。舉一個具體的例子，根據凱萊定理，任何一個羣都同構於由羣的元素組成的置換羣。於是，特別是對研究有限羣來説，研究置換羣就是一個重要的問題了。

設

是一個非空集合，

是它的一個二元運算，如果滿足以下條件：

(1) 封閉性：若

，則存在唯一確定的

使得

；

(2) 結合律成立，即對

中任意元素

都有

；

(3) 單位元存在：存在

，對任意

，滿足

。

稱為單位元，也稱幺元；

(4) 逆元存在：任意

，存在

，

（

為單位元），則稱

與

互為逆元素，簡稱逆元。

記作

；

則稱

對

構成一個羣。

通常稱

上的二元運算

為“乘法”，稱

為

與

的積，並簡寫為

。

若羣

中元素個數是有限的，則

稱為有限羣。否則稱為無限羣。有限羣的元素個數稱為有限羣的階。

對於

，對於

的子集

，定義

，簡寫為

；

，簡寫為

。

對於

的子集

,

，定義

，簡寫為

。

對於

的子集

，記

。

若

是羣，則對於任一

，

。

若

是羣，

是

的非空子集並且

也是羣，那麼稱

為

的子羣。

這條定理可以判定

的子集是否為一個子羣：

且

是

的子羣

全體整數的加法構成一個羣：

最常見的羣之一是整數集，它由以下數組成：

..., −4, −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4,...

下列整數加法的性質，可以作為抽象的羣公理的模型。

全體非零實數的乘法構成一個羣

對三個互不相同的有序對象的6種不同順序間的改變（包括不變的情況）構成一個六階的羣（這是一個有限的置換羣的例子），它由此被標記為S3

羣論在數學上被廣泛地運用，通常以自同構羣的形式體現某些結構的內部對稱性。結構的內部對稱性常常和一種不變式性質同時存在。如果在一類操作中存在不變式，那這些操作轉換的組合和不變式統稱為一個對稱羣。

阿貝爾羣概括了另外幾種抽象集合研究的結構，例如環、域、模。在代數拓撲中，羣用於描述拓撲空間轉換中不變的性質，例如基本羣和透射羣。

李羣的概念在微分方程和流形中都有很重要的角色 ^[2]  ，因其結合了羣論和分析數學，李羣能很好的描述分析數學結構中的對稱性。對這類羣的分析又叫調和分析。在組合數學中，交換羣和羣作用常用來簡化在某些集合內的元素的計算。

幾何晶體學的發展：

晶體點陣、點羣、空間羣這些概念的誕生以及他們在晶體學中的應用。這個主要發展時間是 19 世紀末，20 世紀初，代表人物是熊夫利（Schöneflies，德國猶太人）、赫爾曼（Hermann，德國人）、毛古因（Mauguin，法國人）。)

對稱性與守恆量之間的關係：

代表人物是諾特（Noether，女士，德裔猶太人）。她沒得諾獎，不過這個不影響她本身的偉大。諾特定理的基本內容是“any differentiable symmetry of the action of a physical system has a corresponding conservation law”，也可以説是任何一個保持拉格朗日量不變的微分算符，都對應一個守恆的物理量。

包括空間平移對稱性對應動量守恆、時間平移對稱性對應能量守恆、旋轉對稱性對應角動量守恆，等等。 ^[3] 

量子力學：

代表人物是維格納（Wigner，匈牙利猶太人）。他也因為這方面的研究獲得了1963年的諾貝爾物理獎。他的獲獎原因，原話是“for his contributions to the theory of the atomic nucleus and the elementary particles, particularly through the discovery and application of fundamental symmetry principles”。Wigner 有一本書，叫《Group theory and its applications to the quantum mechanics of atomic spectra》，1931 年寫的。也就是在這個之後，在物理學問題的研究中使用對稱性的知識徹底地成為了一種思維。 ^[4] 

最具代表性的領域是理論化學，很關鍵的一個人物是鮑林（Pauling）。他是第一個將量子力學基本原理、分子軌道、分子設計這些概念引入到化學研究中的人。也是我們現在公認的量子化學、分子生物學的開創人。 ^[5] 

化學領域中，比如晶體學、空間羣和點羣描述分子對稱性和晶體對稱性。這些對稱性位於這些系統的化學和物理表現的底層，而羣論使簡化對這些性質的量子力學分析成為可能。例如，羣論被用來證實在特定量子級別間不出現光學躍遷簡單的因為涉及到了狀態的對稱性。

羣不只對評定在分子中藴含的對稱性有用，而且令人驚奇的它們還可以預測出分子的對稱性有時候可以改變。姜-泰勒效應是高對稱的分子的變形，此時，在通過分子的對稱運算相互關聯的一組可能基態中，該分子將採納一個特定的低對稱的基態。同樣的，羣論還可以幫助預測在物質經歷相變的時候出現的物理性質的變更，比如晶體形式從立方體變為四面體。一個例子是鐵電物質，這裏從順電到鐵電狀態的變更出現在居里温度時，與從高對稱順電狀態到低對稱鐵電狀態的變更有關，並伴隨着所謂的軟聲子模式，它是在變化時轉到零頻率的振動晶格模式。