理想數

舉例來説，設 y為方程 y+ y+ 6 = 0 的根，則擴域中的整數環為 ，即所有 a+ by形式的數，其中a和 b為一般的整數。環中一個非主理想的例子是 ，但這個理想的立方為主理想。實際上這個環的理想類羣是一個3階的循環羣。與此對應的類域是添加方程w− w− 1 = 0的根 w到而獲得的擴域：。非主理想 2a+ yb的一個理想數是 ι = ( − 8 − 16y− 18w+ 12w+ 10yw+ yw) / 23。由於滿足 ι − 2ι + 13ι − 15ι + 16ι + 28ι + 8 = 0，它是一個代數整數。

類域的整數環中的所有乘以 ι 會得到中元素的元素都具有 aα + bβ 的形式，其中

α = ( − 7 + 9y− 33w− 24w+ 3yw− 2yw) / 23， β = ( − 27 − 8y− 9w+ 6w− 18yw− 11yw) / 23.。

α 和 β 也是代數整數，滿足：

和

同時，將 aα + bβ 乘以理想數 ι 後就會得到非主理想 2a+ by。

庫默爾首先在1844年發表了分圓域中唯一分解定理不成立的性質。1847年，文章在約瑟夫·劉維爾的雜誌上發表。在接下來的1846年和1847年裏，庫默爾發表了他的主要定理：理想素數的唯一分解定理。 ^[2] 

庫默爾的理想數概念在其後的四十年間被克羅內克和戴德金獨立地發展。戴德金在試圖直接推廣理想數概念時遇到了巨大的困難，最終導致他發展出了模理論和理想論。克羅內克則深化了型理論（二次型的推廣）和因子理論來解決。戴德金的理論發展成了後來的環論和抽象代數，而克羅內克的理論則成為了代數幾何中的有力工具。