利奧波德·克羅內克

克羅內克，德國數學家。對代數和代數數論，特別是橢圓函數理論有突出貢獻。1823年12月7日生於德國佈雷斯勞附近的利格尼茨（現屬波蘭的萊格尼察），1891年12月29日卒於柏林。 ^[1] 

克羅內克1841年入柏林大學，1845年獲博士學位。1861年經E.E.庫默爾推薦，成為柏林科學院正式成員， ^[1]  並以此身份在柏林大學授課。1868年當選為巴黎科學院通訊院士。1880年任著名的“克雷爾雜誌”的主編。1883年接替庫默爾成為柏林大學教授，時年60歲。1884年成為倫敦皇家學會國外成員。 ^[1] 

克羅內克最主要的功績在於努力統一數論、代數學和分析學的研究。克羅內克的數學觀對後世有極大影響。他主張分析學應奠基於算術，而算術的基礎是整數。他的名言是：“上帝創造了整數，其餘都是人做的工作” ^[1]  ，反映了他對當時的分析學持批判態度。他作為直覺主義的代表人物，還曾極力反對G.康托爾的集合論。

設θ為正無理數，α為實數，則對任給正數ε，都存在兩個正整數m，n，使得

∣nθ-m+α∣＜ε。

α=0的特殊情況稱為狄利克雷定理。

對n×m階矩陣A和p×q階矩陣B，A和B的Kronecher乘法運算可定義為：

注意：右圖中A為m*n維矩陣

由上面的式子可以看出，Kronecker乘積A B表示矩陣A的所有元素與B之間的乘積組合而成的較大的矩陣，B A則完全類似．A B和B A均為mp×nq矩陣，但一般情況下A B B A．和普通矩陣的乘法不同， Kronecker乘法並不要求兩個被乘矩陣滿足任何維數匹配方面的要求，Kronecker乘法的Matlab命令為C=kron(A,B)，例如給定兩個矩陣A和B：

A= B=

則由以下命令可以求出A和B的Kronecker乘積C：

A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; C=kron(A,B)

C =

1 3 2 2 6 4

2 4 6 4 8 12

3 9 6 4 12 8

6 12 18 8 16 24

作為比較，可以計算B和A的Kronecker乘積D，可以看出C、D是不同的：

A=[1 2; 3 4]; B=[1 3 2; 2 4 6]; D=kron(B,A)

D =

1 2 3 6 2 4

3 4 9 12 6 8

2 4 4 8 6 12

6 8 12 16 18 24