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極大理想

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極大理想是一類特殊理想，設a是環R的左(右)理想，若a≠R且R中沒有真正包含a的左(右)理想，則稱a為R的一個極大左(右)理想。類似地，可定義極大理想，任意有單位元的環一定有極大理想，a是R的極大理想當且僅當R/a是單純環，若R是有1的交換環，則a是R的極大理想當且僅當R/a是域，極大理想在局部環的研究中尤為重要。 [1] 
中文名
極大理想
外文名
maximalideal
所屬學科
環論
相關概念
環、理想、素理想、素數等

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 性質
  3. 3 定理
  1. ▪ 定理1
  2. ▪ 定理2
  3. ▪ 定理3
  4. ▪ 推論1
  1. ▪ 推論2
  2. 4 例子

極大理想定義

設M是環R的一個理想，且
，如果除R和M外，R中沒有包含M的其他理想，則稱M為環R的一個極大理想。

極大理想性質

1.非零幺環存在極大理想。
2.交換環R滿足R2=R，則R中每個極大理想都是素理想。 [3] 
3.設
為域k上代數同態，
是B的一個極大理想。若B是有限生成的，則原像
也是A的極大理想。
4.設K為域，
為Kn的點。則
為K上n元多項式環
的極大理想。
5.設
為代數閉域K上n元多項式環的極大理想，則Kn存在點
滿足
。
6.設K為代數閉域，S為K上n元多項式環的子集，則仿射簇
與所有包含S的K上n元多項式環的極大理想的集合
一一對應。 [4] 

極大理想定理

極大理想定理1

設N是整數環Z的一個理想，則
是極大理想
由素數生成．
證明 設
是素數，又K是Z的一個理想，且
令
，則
，只有
或p，即只有
或
從而
是Z的極大理想。
反之，設N是Z的極大理想，由於Z的理想都是主理想，故可設
，且不妨設n是正整數，如果n是合數，令
則Z的理想
，但卻有
這與N是Z的極大理想矛盾，故n必為素數。(證畢)。
根據這個定理，並由例1可知，除平凡理想外，整數環的素理想和極大理想是一致的，但是，對有些環來説並不是這樣。 [2] 

極大理想定理2

設N是環R的一個理想，則
是極大理想
今
是單環．
證明 用
表示R到R=R/N的自然同態。
設N是R的一個極大理想，而
為
的任一非零理想，則由相應定理知，在
之下
的逆像K是R的一個理想。由於
，而
的逆像為N，故
，又因
，故
，即
，但N是R的極大理想，故
即
只有平凡理想，R/N是單環。
反之，設
是單環，K是R的一個理想，且
則
．但由於
，故
，又因
是單環，故
。
任取
，則
，從而有
使
於是
因此
，即N是R的極大理想。(證畢)。
我們知道，域是單環，以下將指出，在一定條件下其逆也成立。 [2] 

極大理想定理3

設交換幺環R是一個單環，R是一個域。
證明 在R中任取
，則
．但R是單環，只有平凡理想，故
於是單位元
，但對有單位元的交換環來説，
中元素都可表為
於是
，其中
，即R中每個非零元都有逆元，從而R是一個域。(證畢)。
由以上兩個定理立即可得下面推論。

極大理想推論1

設R是一個交換幺環，
，則
是極大理想
是域．
證明 設R/N是域，而域是單環，於是由定理2知，N是R的一個極大理想。
反之，設N是R的一個極大理想，由定理2，R/N是單環，又因環R有單位元且可換，從而R/N也有單位元且可換，故由定理3，R/N是一個域。(證畢)。
根據這個推論，再結合定理1又可得下面推論。 [2] 

極大理想推論2

交換幺環的極大理想必為素理想。 [2] 
這樣，在交換幺環中，只要給出一個極大理想，便可立即得到一個與這個環有密切聯繫的域，於是，可以通過所得到的域進一步研究所給的環。
例2 由素數p生成的理想是整數環Z的極大理想，而Z有單位元且可換，故由推論1知，
即
是一個域。
這樣，我們從極大理想出發，又一次證明了
是一個域。 [2] 

極大理想例子

在模8剩餘類環
中，理想
不是
的素理想(因為
，但是
)，也不是
的極大理想(因為
)。但是，易知理想
既是
的素理想也是
的極大理想。
應該注意的是，素理想是在交換環內定義的，但極大理想並無這種限制。 [2] 
參考資料
  • 1.    《數學詞典》編輯委員會．數學辭海·第二卷：中國科學技術出版社，2002.8
  • 2.    楊子胥．近世代數：高等教育出版社，2011.01
  • 3.    Thomas W. Hungerford．代數：Springer，2000
  • 4.    Gregor Kemper．交換代數教程：Springer，2011