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合數

(數字分類基礎概念)

編輯 鎖定
合數是指在大於1的整數中除了能被1和本身整除外,還能被其他數(0除外)整除的數。與之相對的是質數,而1既不屬於質數也不屬於合數。最小的合數是4。其中,完全數相親數是以它為基礎的。
中文名
合數
外文名
Composite number
表達式
(2+Na)*(2+Nb)(Na,Nb為自然數)
適用領域
(威爾遜定理)
應用學科
數學
性    質
大於1且除1和這個數本身,還能被其他正整數整除的整數
表達式提出者
Mi.F.U
類    型
數字分類基礎概念

目錄

合數定義

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合數指自然數中除了能被1和本身整除外,還能被其他數(0除外)整除的數。 [1] 

合數性質

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  • 所有大於2的偶數都是合數。
  • 所有大於5的奇數中,個位為5的都是合數。
  • 除0以外,所有個位為0的自然數都是合數。
  • 所有個位為4,6,8的自然數都是合數。
  • 最小的(偶)合數為4,最小的奇合數為9。
  • 每一個合數都可以以唯一形式被寫成質數的乘積,即分解質因數。(算術基本定理)
  • 對任一大於5的合數(威爾遜定理):

合數類型

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合數的一種方法為計算其質因數的個數。一個有兩個質因數的合數稱為半質數,有三個質因數的合數則稱為楔形數。在一些的應用中,亦可以將合數分為有奇數的質因數的合數及有偶數的質因數的合數。對於後者,
(其中μ為默比烏斯函數且''x''為質因數個數的一半),而前者則為
注意,對於質數,此函數會傳回 -1,且
。而對於有一個或多個重複質因數的數字''n'',
另一種分類合數的方法為計算其因數的個數。所有的合數都至少有三個因數。一質數的平方數,其因數有
。一數若有著比它小的整數都還多的因數,則稱此數為高合成數。另外,完全平方數的因數個數為奇數個,而其他的合數則皆為偶數個。
合數可分為奇合數和偶合數,也能基本合數(能被2或3整除的),分陰性合數(6N-1)和陽性合數(6N+1),還能分雙因子合數和多因子合數。

合數相關

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只有1和它本身兩個因數的自然數,叫質數(或稱素數)。(如:由2÷1=2,2÷2=1,可知2的因數只有1和它本身2這兩個因數,所以2就是質數。與之相對立的是合數:“除了1和它本身兩個因數外,還有其它因數的數,叫合數。”如:4÷1=4,4÷2=2,4÷4=1,很顯然,4的因數除了1和它本身4這兩個因數以外,還有因數2,所以4是合數。)
100以內的質數有2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97,一共有25個。
質數的個數是無窮的。歐幾里得的《幾何原本》中的證明使用了證明常用的方法:反證法。具體證明如下:假設質數只有有限的n個,從小到大依次排列為p1,p2,……,pn,設N=p1×p2×……×pn,那麼,N+1是素數或者不是素數。
  • 如果N+1為素數,則N+1要大於p1,p2,……,pn,所以它不在那些假設的素數集合中。
  • 如果N+1為合數,因為任何一個合數都可以分解為幾個素數的積;而N和N+1的最大公約數是1,所以N+1不可能被p1,p2,……,pn整除,所以該合數分解得到的素因數肯定不在假設的素數集合中。
因此無論該數是素數還是合數,都意味着在假設的有限個素數之外還存在着其他素數。所以原先的假設不成立。也就是説,素數有無窮多個。
其他數學家給出了一些不同的證明。歐拉利用黎曼函數證明了全部素數的倒數之和是發散的,恩斯特·庫默的證明更為簡潔,Hillel Furstenberg則用拓撲學加以證明。
任何一個大於1的自然數N,都可以唯一分解成有限個質數的乘積,這裏P1<P2<...<Pn質數,其諸方冪ai是正整數。
這樣的分解稱為N的標準分解式。
算術基本定理的內容由兩部分構成:分解的存在性、分解的唯一性(即若不考慮排列的順序,正整數分解為素數乘積的方式是唯一的)。
算術基本定理是初等數論中一個基本的定理,也是許多其他定理的邏輯支撐點和出發點。
此定理可推廣至更一般的交換代數和代數數論。高斯證明覆整數環Z[i]也有唯一分解定理。它也誘導了諸如唯一分解整環歐幾里得整環等等概念,更一般的還有戴德金理想分解定理。
上下素性判定法
命題 1對於B=36N+1 形數而言。
若不定方程(3N)^2+N-(B-1)/36=W^2 有整數解,
則 6(3N-W)+1 是小因子數;6(3N+W)+1 是大因子數。
若不定方程 (3N)^2-N-(B-1)/36=W^2 有整數解,
則 6(3N-W)-1 是小因子數;6(3N+W)-1 是大因子數。
兩式都無解,是素數。
命題 2對於B=36N+7 形數而言。
若不定方 (3N)^2+4N-(B-7)/36=W^2+W 有整數解,
則 6(3N-W)+1 是小因子數,6(3N+W+1)+1 是大因子數。
若不定方程 (3N+2)^2+2N+2-(B+29)/36=W^2+W 有整數解,
則 6(3N+2-W)-1 是小因子數,6(3N+W+3)-1 是大因子數。
兩式都無解,是素數。
命題 3對於B=36N+13 形數而言。
若不定方程 (3N+1)^2+N-(B-13)/36=W^2 有整數解,
則 6(3N+1-W)+1 是小因子數,6(3N+1+W)+1是大因子數。
若不定方程 (3N+2)^2-N-(B+23)/36=W2 有整數解,
則 6(3N+2-W)-1 是小因子數,6(3N+2+W)-1是大因子數。
兩式都無解,是素數。
命題 4對於B=36N+19 形數而言。
若不定方程(3N+1)^2+4N+1-(B-19)/36=W^2 +W 有整數解,
則 6(3N+1-W)+1 是小因子數;6(3N+2+W)+1 是大因子數。
若不定方程 (3N+1)^2+2N+1-(B+17)/36=W^2 +W 有整數解,
則 6(3N+1-W)-1 是小因子數;6(3N+2+W)-1 是大因子數。
兩式都無解,是素數。
命題 5對於B=36N+25 形數而言。
若不定方 (3N+2)^2+N-(B-25)/36=W^2有整數解,
則 6(3N+2-W)+1 是小因子數,6(3N+2+W)+1 是大因子數。
若不定方程 (3N+1)^2-N-(B+11)/36=W^2有整數解,
則 6(3N+1-W)-1 是小因子數,6(3N+1+W)-1 是大因子數。
兩式都無解,是素數。
命題 6對於B=36N+31 形數而言。
若不定方程 (3N+2)^2+4N+2-(B-31)/36=W^2 +W 有整數解,
則 6(3N+2-W)+1 是小因子數,6(3N+3+W)+1是大因子數。
若不定方程 (3N+1)^2-4N-1-(B+5)/36=W^2+W有整數解,
則 6(3N-W)-1 是小因子數,6(3N+1+W)-1是大因子數。
兩式都無解,是素數。
命題 7對於B=36N-1 形數而言。
若不定方程(3N)^2-N+(B+1)/36=W^2 有整數解,
則 6(3N-W)+1 是小因子數;6(3N+W)-1 是大因子數。
若不定方程 (3N)^2+N+(B+1)/36=W^2 有整數解,
則 6(W-3N)-1 是小因子數;6(W+3N)+1 是大因子數。
兩式都無解,是素數。
命題 8對於B=36N+5 形數而言。
若不定方 (3N)^2+2N+(B-5)/36=W^2+W 有整數解,
則 6(W-3N)+1 是小因子數,6(W+3N+1)-1 是大因子數。
若不定方程 (3N+2)^2+4N+2+(B+31)/36=W^2+W 有整數解,
則 6(W-3N-2)-1 是小因子數,6(W+3N+3)+1 是大因子數。
兩式都無解,是素數。
命題 9對於B=36N+11 形數而言。
若不定方程 (3N+1)^2-N+(B-11)/36=W^2 有整數解,
則 6(W-3N-1)+1 是小因子數,6(W+3N+1)-1是大因子數。
若不定方程 (3N+2)^2+N+(B+25)/36=W2 有整數解,
則 6(W-3N-2)-1 是小因子數,6(W+3N+2)+1是大因子數。
兩式都無解,是素數。
命題 10對於B=36N+17 形數而言。
若不定方程(3N+1)^2+2N+1+(B-17)/36=W^2 +W 有整數解,
則 6(W-3N-1)+1 是小因子數;6(W+3N+2)-1 是大因子數。
若不定方程 (3N+1)^2+4N+1+(B+19)/36=W^2 +W 有整數解,
則 6(W-3N-1)-1 是小因子數;6(W+3N+2)+1 是大因子數。
兩式都無解,是素數。
命題 11對於B=36N+23 形數而言。
若不定方 (3N+2)^2-N+(B-23)/36=W^2有整數解,
則 6(W-3N-2)+1 是小因子數,6(W+3N+2)+1 是大因子數。
若不定方程 (3N+1)^2+N+(B+13)/36=W^2有整數解,
則 6(W-3N-1)-1 是小因子數,6(W+3N+1)+1 是大因子數。
兩式都無解,是素數。
命題 12對於B=36N+29 形數而言。
若不定方程 (3N+2)^2+2N+2+(B-29)/36=W^2 +W 有整數解,
則 6(W-3N-2)+1 是小因子數,6(W+3N+3)-1是大因子數。
若不定方程 (3N)^2-4N+(B+7)/36=W^2+W有整數解,
則 6(W-3N)-1 是小因子數,6(W+3N+1)+1是大因子數。
兩式都無解,是素數。
關於哥德巴赫猜想(Su Bin):設(2+Na)*(2+Nb)=x經過推導得(x-4)^2=3(Na+Nb)^2+2NaNb(x-1)
所以x≥4,且x≠5.所以x≥6.
左邊為合數,右邊是兩個數的和。
參考資料
  • 1.    教材編委會.五年級下冊數學:人民教育出版社,2014:第24頁