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威爾遜定理

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威爾遜定理（Wilson's theorem），是一個基本的數論定理，指≡任一素數減去1的階乘與-1模該素數同餘。 [1] 
威爾遜定理於1682年由德國數學家萊布尼茨最早發現，於1771年由法國數學家拉格朗日首次證明。 [2]  [7] 
威爾遜定理揭示了一個正整數p與它的一次既約剩餘系之間的關係，給出了判斷一個數為素數、證明同餘式和整數的整除、解決素數模的高次同餘式問題的簡便方法。 [3] 
中文名
威爾遜定理
外文名
Wilson's theorem
別    名
威爾森定理
威爾生定理
表達式
(p-1)!+1≡0(mod p)，其中p為素數
提出者
約翰·威爾遜
應用學科
數學
信息學

目錄

  1. 1 定理定義
  2. 2 驗證推導
  3. 3 定理推廣
  4. 4 發展簡史
  5. 5 定理意義

威爾遜定理定理定義

威爾遜定理的定義為：任一素數減去1的階乘與-1模該素數同餘。 [1] 
威爾遜定理可用數學語言表示為：對任何素數
，都有
． [4] 

威爾遜定理驗證推導

引理
設
是素數，
是整係數多項式，再設
兩兩對模
不同餘，滿足
，
則存在整係數多項式
，使得
。
引理證明
由於
是
的一個根，存在整係數多項式
，使
又
是
的另一個根，且
與
對模
不同餘．
所以
． 由於
是素數，
即
是
的一個根．
故存在整係數多項式
，使
則
．依次類推有
令
，則
其中
是整係數多項式．
定理證明
由引理立即得到
當
時，有
． [5] 

威爾遜定理定理推廣

  • 逆定理
若
，則
是素數。 [6] 

威爾遜定理發展簡史

1682年，德國數學家萊布尼茨發現威爾遜定理。
1770年，英國數學家華林在《代數沉思錄》一書中公佈了威爾遜定理。 [2] 
1771年，法國數學家拉格朗日首次證明威爾遜定理。 [7] 

威爾遜定理定理意義

威爾遜定理揭示了一個正整數
與它的一次既約剩餘系之間的關係，給出了判斷一個數為素數、證明同餘式和整數的整除、解決素數模的高次同餘式問題的簡便方法。 [3] 
參考資料
  • 1.    Joseph J.Rotman．An Introduction to the Theory of Groups．北京：世界圖書出版公司，2011：15-15
  • 2.    熊洪斌．模m二次剩餘系之Wilson定理：江西科學，2011：153-153
  • 3.    潘傳中．威爾森（Wilson）定理的又一證明：西南民族大學學報，2007：491-491
  • 4.    陳豔．威爾遜定理及高斯定理的推廣：浙江交通職業技術學院，2008：319-319
  • 5.    劉曉民,範利．Wilson定理的一種新證明：商洛師範專科學校，2001：75-75
  • 6.    張樹勝．Wilson定理之逆的一個簡短證明：中學數學，2006：29-29
  • 7.    蔣遠輝．威爾遜定理的一個等價命題：數學通訊，1998：25-25