幾何原本

《幾何原本》全書共13卷，以第1卷的23個定義、5個公設和5個公理作為基本出發點，給出了119個定義和465個命題及證明，包括了平面幾何、立體幾何和初等數論的一些內容。

第1卷共有23個定義、5個公設、5個公理和48個命題，用23個定義提出了點、線、面、圓和平行線的原始概念，提出了5個公設和5個公理，進一步研究了三角形全等的條件、三角形邊和角的大小關係、平行線的理論、三角形和多角形等積的條件。其中，最後2個命題是畢達哥拉斯定理及其逆命題。

第2卷共有14個命題，研究多邊形的等積問題。其中，前10個代數命題是用面積變換與畢達哥拉斯定理解決的，第12、13個命題相當於餘弦定理。

第3卷共有37個命題，先給出了有關圓的一些定義，然後討論弦、切線、割線及圓心角與圓周角的有關定理，給出了由已知點作已知圓的切線的作圖方法（不用平行公理）。

第4卷共有16個命題，論述了圓和多邊形的關係，如求作正多邊形的內切圓、外接圓以及圓的內接正多邊形、外切正多邊形。

第5卷共有25個命題，詳細探討了關於量的比例論，比例論避免了無理數而適用於不可公度的量。

第6卷共有33個命題，將第5卷已建立的理論用到平面圖形上去，為相似多邊形的理論。

第7、8、9卷分別有39、27、36個命題，是初等數論，是整數的整除性質的討論，包括求兩數最大公因數的輾轉相除法（也叫歐幾里得算法），給出了有關連比例的定理，素數無窮多的證明，最後一個命題是一個數是完全數的充分性的定理。

第10卷共有115個命題，討論了線段的加、減、乘以及開方運算，對所得之特殊線段命了名，並討論了這些特殊線段之間的關係，對形如

（a、b為兩有理線段）的無理量所有25種可能的形式進行分類。

第11卷共有39個命題，討論了空間的直線與平面的各種關係，給出了直線與平面、平面與平面關係的許多性質定理，還給出了平行六面體的有關體積的命題。

第12卷共有18個命題，是關於面積和體積的命題，特別是關於圓面積與球體積的問題。

第13卷共有18個命題，是正多面體的一些性質，其目的在於討論球內接各正多面體邊長之間的關係，最後一個命題給出了球內五個正多面體邊的作圖，其推論指出正多面體僅有五個。 ^{[2-3]  [4]} 

公元前8至公元前6世紀，在小亞細亞地區，希臘移民建立了一羣經濟上繁榮富裕的工商業城市，發展出了希臘城邦制度。希臘人憑藉地理上的優勢，大力發展海上貿易，廣泛吸收先進的古埃及和古巴比倫的文化，成為古希臘文明的中心，培育出了公元前6世紀以後的小亞細亞諸城邦的一批思想家和學者，小亞細亞、尤其愛奧尼亞成了古希臘自然哲學和科學的故鄉。希波戰爭以後，雅典取得了希臘城邦的領導地位，海上貿易更加發達。經濟生活更加繁榮，古希臘文明中心由小亞細亞移向希臘本土雅典，此時，希臘民主城邦制度逐步走向全盛時代。“各城邦實行獨立的主權在民和直接民主制度，即城邦的政治主權屬於它的公民，公民們直接參與城邦的管理。”“在這種制度下，凡享有政治權利的公民的各項決議無論在寡頭、貴族或民主政體中總是最後的裁斷，具有最高的權威”，這種“民主生活又使得議會、陪審法庭和公民大會成為説話的藝術即雄辯術的廣闊的用武之地。雄辯術可以使一個普通的公民成為民眾的領袖”。在這種環境下，雅典學術氣氛十分活躍，雅典公民在公開的政治生活中獲得廣泛的知識，希臘世界各地的知識分子也羣趨雅典，希臘哲學、藝術、文化科學等各方面呈現出百花齊放、各炫異彩的空前盛況。馬其頓王亞歷山大的帝國崩潰以後，作為東西海陸交通樞紐的埃及的亞歷山大里亞逐漸成為古希臘文化中心。其時，托勒密一世重視科學文化，在那裏修建科學中心。修建博物園，建立圖書館，藏書70餘萬卷，幾乎包括所有古希臘的著作和東方的一部分典籍，還把當時所有學術中心的許多學者請到亞歷山大里亞，歐幾里得就是在公元前300年左右受邀到那裏從事教學和研究的。數學在一個自由的學術氣氛中最能獲得成功，而希臘的民主城邦制度則提供了這種自由的學術環境，在那裏古希臘人創立了思辯的哲學，發展和積累了豐富的自然科學和數學知識，《幾何原本》就是在這樣的環境中誕生的。 ^[1] 

大約在公元前300年，歐幾里得比較系統地總結了古代勞動人民長期積累的幾何知識，把人們公認的一些事例歸納成定義和公理，用它來研究圖形的性質，寫成了《幾何原本》一書。 ^[6] 

公理化方法的建立具有分析、歸納和總結數學知識的作用，能把分散的、雜亂的、支離片段的幾何知識整理成為一門完整的、嚴密的、系統的科學體系。在一個數學理論體系中，儘可能少地選取原始概念和不加證明的一組公理，以此為出發點，利用純邏輯推理的規則，把該理論體系建立成一個演繹系統，這樣一種構建理論體系的思想就是公理化思想。《幾何原本》即從少數幾個公理出發，由簡到繁地推演出460多個命題，建立起人類史上第一個完整的公理演繹體系。

首先，《幾何原本》系統使用公理化方法。書中從定義、公設、公理出發，按邏輯規則勾織了一張命題之網，錘鍊出了嚴密的公理化演繹系統，建立了幾何學的邏輯體系。為數很少的初始原則幾乎無一例外具有自明性，但卻能演繹出極其豐富可靠的命題。

其次，《幾何原本》構建了完整的幾何體系。歐幾里得總結了前人積累的成果，使零散的數學知識編織成一個完整的幾何體系，又通過對早期柏拉圖數學思想，尤其是幾何論系統的周詳研究，敏鋭觀察到了幾何學理論發展的趨勢，把歐多克索斯的許多定理收入《幾何原本》，並完善了前人的證明，給出了無懈可擊的論證。

最後，《幾何原本》發展了數學思想方法。歐幾里得為幾何證明提供了規範，書中許多證明是他自己獨創的，表現了很高的技巧。書中的證明方法主要有綜合法、分析法和反證法、幾何代數法，既用幾何代數法敍述了比例論，巧妙地解決了很多經典問題；又廣泛使用了窮竭法，使這一數學方法得到發展，而從中可以看到微積分的思想方法的雛形；還論證命題的過程中使用了輾轉相除法，給出了兩個正整數的最大公因數。 ^[7] 

首先，《幾何原本》建立了比較嚴密的幾何體系，其誕生標誌着幾何學已成為一個有着比較嚴密的理論系統和科學方法的學科，在幾何學發展史上具有劃時代的意義。在這個體系中有四個方面的內容：①定義。亦即幾何學裏用的名稱或術語的意義，都是以生產實踐中抽象出來且為人們所共知的，因而無需加以説明。例如“點”的定義是：點只有位置而沒有大小，且不能被分割。②公理。亦即不加邏輯推證而自明的真理。③公設。就是幾何學中假設其成立的事項，但這種假設必須有客觀依據而被大家公認。例如，過任何不同的兩點，可以作一條直線。近代的學者不再把公設與公理分開，而統稱之為公理。
④命題。包括作圖題和定理兩部分。作圖題是從幾何學裏已知的對象出發，找出或作出所要求的對象；定理則是根據假定、公理、公設和定義，應用邏輯推理方法推證而得出的結論。
全書就是以第1卷的定義、公設、公理為依據，邏輯地展開各部分內容。比如之後出現的每一個定理，都寫明什麼是已知的、什麼是要求證的，都根據前面的定義、公設、公理、定理等進行邏輯推理給予嚴格的證明。

其次，歐幾里得在《幾何原本》中把幾何學建築在最初的公設、公理的基礎上，然後運用邏輯的定義和推理方法依次導出後面的定義和定理，把龐大的零散的幾何知識用邏輯的鏈子整理和編織成為一個系統的概念和理論的完整體系，並規定了幾何的證明方法（如分析法、綜合法和歸納法等），這是用公理方法建立幾何體系的雛形，對近代數學的發展有着巨大的推動作用，給現代幾何學打下了堅實的基礎。

最後，歐幾里得的第五公設在數學史上佔有特殊的地位。後世的數學家注意到，與論述直線和圓的基本性質的前四條公設相比，第五公設的性質顯得太複雜了，更像一條定理而不是公設。因此人們開始懷疑第五公設作為公理的地位，並探索用其它公理來證明它，從而使之變成為一條定理。在兩千餘年中，進行這種求索試探並有案可查的就達2000人以上，其中包括許多知名的數學家。雖然，所有這一切幾乎都失敗了，但是，由於數學家們對歐幾里得第五公設的懷疑、探索，並在這些失敗教訓中，引出了許多與歐幾里得幾何不同的幾何，誕生了一種嶄新的幾何學體系——非歐幾何學。 ^[8] 

歐幾里得《幾何原本》系統地整理並記載了長時期以來人們在生活實踐中所積累的豐富的幾何知識以及較嚴密的邏輯結構，因此，儘管科學技術的發展日新月異，但是《幾何原本》一直是傳播幾何知識和培養邏輯思維能力的較好的教材，對數學教育起着重要的作用，歷史上諸多科學家從中得到益處，從而作出了偉大的貢獻。例如牛頓、愛因斯坦。其中，牛頓在公元1664年4月一次獎學金考試中落選，當時的考官巴羅博士對他説：“因為你的幾何基礎知識太貧乏，無論怎樣用功也是不行的。”此後，牛頓把《幾何原本》從頭到尾反覆地進行深入鑽研，在少年時代打下了堅實的數學基礎，後來成為數學、物理學的卓越科學家。 ^[8] 

首先，但凡是具有科學哲學傾向的哲學家和百科全書式的哲學家，都受過《幾何原本》的深刻影響：或者從接觸到它而轉向研究哲學；或者從中得到基本的邏輯訓練，形成了一個注重和善於邏輯思維的大腦；或者從中吸取思想養料，並把它轉化成哲學材料；或者受到它的公理化體系和演繹方法的啓示，為構造各自的哲學大廈得到框架和建構方法。諸如霍布斯、笛卡爾、斯賓諾莎、萊布尼茨、狄德羅等。

其次，《幾何原本》的公理化體系成為許多派別的哲學家構築哲學理論體系的框架。不論是唯物派哲學家，還是唯心派哲學家，不論是經驗派哲學家，還是唯理派哲學家，都對這種公理化的體系大加推崇，把它用到構築自己的哲學體系中來，這幾乎已經成為全部歐洲近代哲學的傳統。

最後，《幾何原本》引發了深刻的認識論問題。兩千多年來，人們對《幾何原本》的絕大多數公理和用於推導邏輯程序是深信不疑的，認為它們具有普遍必然性。至於這種公理和邏輯程序的普遍必然性是從何而來的，許許多多的哲學家對此進行了持續不斷的研究和探索，在哲學史上形成了一個答案各異、觀點迭出、派別林立的異采紛呈的局面。有的哲學家認為，它來自經驗歸納；有的哲學家認為，它來自“天賦觀念”；有的哲學家則認為，它既不來自先天分析，又不來自後天綜合，而是來自先入、綜合；等等。只有馬克思主義的唯物論的反映論才唯一正確地回答了這一深刻的認識論問題：無論是《幾何原本》的公理，還是《幾何原本》的用於推導的邏輯程序，都只能來自人們的社會實踐，特別是用於改造自然的生產實踐。但馬克思主義的回答是為研究這一問題確定了正確的原則和方向，並不意味着結束對這一問題的研究。 ^[15] 

明代數學家徐光啓：“此書為益，能令學理者祛其浮氣，練其精心；學事者資其定法，發其巧思。故舉世無一人不當學。……此書有四不必：不必疑，不必揣，不必試，不必改。有四不可得：欲脱之不可得，欲駁之不可得，欲減之不可得，欲前後更置之不可得。有三至三能：似至晦，實至明，故能以其明明他物之至晦；似至繁，實至簡，故能以其簡簡他物之至繁；似至難，實至易，故能以易易他物之至難。易生於簡，簡生於明，綜其妙，在明而已。” ^[9] 

近代思想家梁啓超：“最著名者，如利、徐合譯之《幾何原本》，字字精金美玉，為千古不朽之作，無用我再為讚歎了。” ^[16] 

歐幾里得《幾何原本》的手稿早已失傳，《幾何原本》在很長一段時間內是以各種文字的抄本到處流傳，而且不同文字的抄本內容不盡相同，甚至是根據一些版本重新整理修訂的。到了公元4世紀，希臘人賽翁（Theon）根據幾個不同版本整理了一個希臘文抄本，此即賽翁抄本，後來的學者大都根據賽翁抄本研究和翻譯《幾何原本》。 ^[10] 

公元1533年，在巴塞爾（Basel）第一次印刷了格里烏（Simon Gryueng）的希臘文本《幾何原本》，此即巴塞羅版。 ^{[10]  [12]} 

公元1808年，在梵蒂岡圖書館發現了兩部歐幾里得的著作，其中之一是希臘文抄本《幾何原本》（MS. Vat. 190），此即梵蒂岡抄本。拿破崙把這兩個抄本送往巴黎，經研究認為該抄本的來源早於賽翁抄本。從此，很多學者把注意力轉向研究梵蒂岡抄本。 ^{[10]  [12]} 

在哈倫·拉希德（Harun al—Rasid）統治的公元9世紀初，數學家哈賈傑·伊本·優素福（al-Hajjāj ibn Yūsuf）受皇室的委託和資助，譯出第一個阿拉伯文譯本《幾何原本》，稱Harun版。 ^{[11]  [12]} 

在馬蒙統治時期，哈賈傑·伊本·優素福又根據其他抄本對《幾何原本》的譯文進行了刪除、補充，使其內容更簡化了些，重新譯出一個阿拉伯文譯本，稱al—Mamun版。該譯本共6本，可能13卷，現藏於荷蘭的萊頓（MS. Cadex. Leidensis 399，1）。 ^{[11]  [12]} 

伊沙格（Ishāq ibn Hunain，?—公元910年）認為前人的阿拉伯文譯本《幾何原本》不理想，便決心自己重新翻譯，但他的譯本沒有保存下來。伊拉克數學家塔比·伊本·庫拉（Thābit ibn Qurra，約公元834年—公元901年）修訂了伊沙格的譯文，完成了15卷的一個阿拉伯文譯本，含478個命題，稱伊沙格—塔比本（Ishāq—Thābit本），牛津大學圖書館現藏有該譯本的兩個抄本（Ms Oxford，Bodl 279，公元1238年抄；Ms Oxford，Bodl 280，公元1260年抄，有修改）。 ^{[3]  [13]} 

數學家納西爾·丁（Nasir ad-Din al-Tusi，約公元1201年—公元1274年）根據掌握的譯本重新整理和編寫了一個阿拉伯文譯本《幾何原本》（Tahrir usùl Uqlidis），於公元1248年完成，分大版（editio major）和小版（editio minor）兩種。其中，大版於公元1594年在羅馬出版過，只在意大利佛羅倫薩（Florence）能見到（Ms Flor. Pal. 272；Ms Flor. Pal. 313，僅有6卷）；小版共15卷，含468個命題，流傳很廣，公元1801年在君士坦丁堡（Constantinople）印刷過，公元1824年在加爾各答（Calcutta）印刷過前6卷，在倫敦、巴黎、柏林、慕尼黑、伊斯坦布爾等地都能見到，可以在大英博物館（974；1334；1335）和巴黎（2465；2466）查閲到。 ^{[3]  [13]} 

公元1120年左右，英國學者阿德拉德（Adelard of Bath，約公元1090年—公元1150年）根據阿拉伯文譯本翻譯出第一個拉丁文譯本《幾何原本》，分為3類：Adelard Ⅰ、Adelard Ⅱ、Adelard Ⅲ。其中，Adelard Ⅰ的底本是哈賈傑·伊本·優素福的阿拉伯文譯本；Adelard Ⅱ是在Adelard Ⅰ的基礎上修改形成的，有時也稱Adelard單行本；Adelard Ⅲ是在Adelard Ⅱ的基礎上編寫的，有序文。後來，傑拉德（Gerard of Cremora，公元1114年—公元1187年）又從伊沙格—塔比本譯出一個拉丁文譯本。 ^{[3]  [12]} 

公元1255年左右，意大利諾瓦拉人坎帕努斯（Campanus of Novara，?—公元1296年）參考數種阿拉伯文譯本及早期的拉丁文本重新譯出一個拉丁文譯本《幾何原本》，於公元1482年在意大利出版，成為第一個印刷本《幾何原本》。當時，意大利出版家愛爾哈得（Erhard Ratbolt）在威尼斯創建了一個印刷廠，主動承印了該譯本。公元1486年，在烏爾姆（ULM）再版。公元1491年，又在巴塞爾重版。 ^{[3]  [10]} 

公元1505年，在威尼斯出版了意大利數學家贊貝蒂（Bartolomeo Zamberti，約公元1473年—?）第一次直接從希臘文本譯出的一個拉丁文譯本，該譯本13卷，底本為塞翁抄本。 ^{[3]  [12]} 

公元1572年，意大利數學家科曼迪諾（Federico Commandino，公元1509年—公元1575年）直接從希臘文本《幾何原本》譯出的一個拉丁文譯本於比薩出版，該譯本15卷，附有前人的註釋和科曼迪諾自己的研究成果。 ^[12] 

公元1574年，德國數學家克拉維烏斯（Christoph Clavius，公元1537年—公元1612年）校訂增補的一個拉丁文譯本《歐幾里得原本15卷》（Euclidis Elementorum Libri XV）在羅馬出版，之後多次再版。原著只有13卷，該譯本的第14、15卷是後人添加上去的，和原著有很大的出入。其中，第14卷一般認為出自許普西克勒斯（Hypsicles，約公元前180年）之手，而第15卷是公元6世紀初敍利亞人大馬士革烏斯（Damascius）所著。 ^[3] 

公元1655年，巴羅（Isaac Barrow，公元1630年—公元1677年）根據希臘文本《幾何原本》譯出一個拉丁文譯本。 ^[3] 

公元1883年—公元1916年間，丹麥古典文獻學家約翰·盧茲維·海貝爾（Johan Ludvig Heiberg，公元1854年—公元1928年）和他的學生海因裏希·門格（Heinrich Menge）整理的8卷本《歐幾里得全集》（Euclidis Opera Omnia）各卷先後出版。其中，第1—5卷就是《幾何原本》，出版於公元1883年，為希臘文與拉丁文對照本，底本是梵蒂岡抄本（公元10世紀），副底本是收藏在牛津（MS Oxford，Bodl. D'Orville 301，公元9世紀）、佛羅倫薩（MS Firenze，Laurentian XXVⅢ3，公元10世紀）、維也納（MS Wien，Philos. Gr. No 103，公元11—12世紀）的三個抄本。 ^{[3]  [12]} 

公元1570年，比林斯利（Henry Billingsley）完成第一個完整的英文譯本《幾何原本》（The Elements of Geometrie of the most ancient philosopher Euclide of Megara），其書名將亞歷山大里亞的數學家歐幾里得誤作墨伽拉（Megara）的哲學家。 ^[12] 

公元1660年，巴羅根據希臘文本《幾何原本》譯出的一個英文譯本出版。 ^[12] 

公元1756年，西姆森（Robert Simson，公元1687年—公元1768年）以科曼迪諾的拉丁文譯本為基礎譯出的一個英文譯本《幾何原本》（The Elements of Euclid, with The first six Books together with the eleventh and twelfth）出版。該譯本不包括第7—10卷和第13卷，加進了西姆森自己的許多解釋，並不準確。 ^[12] 

公元1862年，託德亨特（Issac Todhunter，公元1822年—公元1884年）在西姆森英文譯本的基礎上修改而成的一個英文譯本《幾何原本》（Elements of Euclid）出版。該譯本用現代的數學語言加了很多解釋，嚴格而言並非歐幾里得的《幾何原本》，而是講授歐幾里得幾何學的教科書。 ^[12] 

公元1908年，托馬斯·利特爾·希思（Thomas Little Heath，公元1861年—公元1940年）根據希臘文與拉丁文對照本中的希臘文本譯出的一個英文譯本《幾何原本》（The thirteen books of Euclid's elements）出版，公元1925年再版，公元1956年重印。 ^[12] 

最早的中文譯本《幾何原本》出版於公元1607年，由利瑪竇（Matteo Ricci，公元1552年—公元1610年）和徐光啓（公元1562年—公元1633年）翻譯，底本是克拉維烏斯校訂增補的拉丁文譯本《歐幾里得原本15卷》，僅譯出前6卷。到公元1857年，後9卷才由英國人偉烈亞力（Alexander Wylie，公元1815年—公元1887年）和李善蘭（公元1811年—公元1882年）共同譯出，底本可能是巴羅的英文譯本。 ^[3] 

歐幾里得（Euclid，約公元前330年—公元前275年），古希臘數學家。托勒密一世（Ptolemy Soter，約公元前367年—公元前282年）時代的人，早年求學於雅典，公元前300年前後活躍於古希臘文化中心亞歷山大。著有《幾何原本》（Elements）、《已知數》（The data）、《圓形的分割》（On divisions of figures）、《糾錯集》（Pseudaria）、《推論集》（Porisms）、《圓錐曲線》（Conics）、《現象》（Phaenomena）、《曲面軌跡》（Surface Loci）、《光學》（Optics）等。 ^[14]