-
餘弦定理
鎖定
- 中文名
- 餘弦定理
- 外文名
- The Law of Cosines
- 別 名
- cosine law
- 表達式
- cos A=(b²+c²-a²)/2bc
餘弦定理公式含義
餘弦定理餘弦定理表達式1
同理,也可描述為:
餘弦定理表達式2
餘弦定理表達式3(角元形式)
餘弦定理驗證推導
餘弦定理《欽定四庫全書》上的證明
和《幾何原本》上勾股定理的證明類似。
餘弦定理無字證明
勾股定理可以推廣到餘弦定理。餘弦定理和勾股定理一樣,都有着很多不同的證明。圖2就是餘弦定理的一個無字證明。
餘弦定理平面幾何法證明一
如圖3所示,△ABC,在c上做高,將c邊寫:
將等式同乘以c得到:
如圖4所示:以AB邊為邊長,以垂直於面ABC作向裏的正方形AA`BB`輔助線,然後作平行於AA`邊的CC`等,則,上述公式相當於輔助正方形的面積等於長方形AA`C`C和BB`C`C在正方形AA`BB`中的投影面積(分別為
與
)之和。
對另外兩邊分別作高,運用同樣的方法可以得到:
將兩式相加:
餘弦定理平面幾何法證明二
如圖5所示,在△ABC中,BC=a,AC=b,AB=c,作AD⊥BC於D,則AD=c*sinB,DC=a-BD=a-c*cosB
在Rt△ACD中,
b²=AD²+DC²=(c*sinB)²+(a-c*cosB)²
=c²sin²B+a²-2ac*cosB+c²cos²B
=c²(sin²B+cos²B)+a²-2ac*cosB
=c²+a²-2ac*cosB
餘弦定理利用正弦定理證法
在△ABC中,
sin²A+sin²B-sin²C
=[1-cos(2A)]/2+[1-cos(2B)]/2-[1-cos(2C)]/2(降冪公式)
=-[cos(2A)+cos(2B)]/2+1/2+1/2-1/2+[cos(2C)]/2
=-cos(A+B)cos(A-B)+[1+cos(2C)]/2(和差化積)
=-cos(A+B)cos(A-B)+cos²C(降冪公式)
=cosC*cos(A-B)-cosC*cos(A+B)(∠A+∠B=180°-∠C以及誘導公式)
=cosC[cos(A-B)-cos(A+B)]
設△ABC的外接圓半徑為R
∴(RsinA)²+(RsinB)²-(RsinC)²=2(RsinA)*(RsinB)*cosC
∴a²+b²-c²=2ab*cosC(正弦定理)
餘弦定理平面向量證法
∴c·c=(a+b)·(a+b)
∴c²=a·a+2a·b+b·b∴c²=a²+b²+2|a||b|cos(π-θ)
(以上粗體字符表示向量)
又∵cos(π-θ)=-cosθ(誘導公式)
∴c²=a²+b²-2|a||b|cosθ
此即c²=a²+b²-2abcosC
即cosC=(a²+b²-c²)/2*a*b
同理可證其他,而下面的cosC=(a²+b²-c²)/2ab就是將cosC移到左邊表示一下。
餘弦定理定理應用
餘弦定理是解三角形中的一個重要定理,可應用於以下三種需求:
餘弦定理求邊
餘弦定理公式可變換為以下形式:
餘弦定理求角
餘弦定理求面積
由面積公式
知如果已知三角形的三條邊,可以由余弦定理求出一個內角,從而得到三角形的面積。
餘弦定理判定定理
餘弦定理判定定理一 兩根判別法
若記m(c1,c2)為c的兩值為正根的個數,c1為c的表達式中根號前取加號的值,c2為c的表達式中根號前取
減號的值。
①若m(c1,c2)=2,則有兩解;
②若m(c1,c2)=1,則有一解;
③若m(c1,c2)=0,則有零解(即無解)。
注意:若c1等於c2且c1或c2大於0,此種情況算到第二種情況,即一解。
餘弦定理判定定理二 角邊判別法
一、當a>bsinA時:
①當b>a且cosA>0(即A為鋭角)時,則有兩解;
②當b>a且cosA直角或鈍角)時,則有零解(即無解);
③當b=a且cosA>0(即A為鋭角)時,則有一解;
④當b=a且cosA
⑤當b
二、當a=bsinA時:
①當cosA>0(即A為鋭角)時,則有一解;
②當cosA
三、當a
餘弦定理應用例題
餘弦定理例如:
已知△ABC的三邊之比為5:4:3,求最大的內角。
解:設三角形的三邊為a,b,c且a:b:c=5:4:3.
由三角形中大邊對大角可知:∠A為最大的角。
由余弦定理:
cosA=0
所以∠A=90°。
餘弦定理再如:
△ABC中,AB=2,AC=3,角A為60度,求BC之長。
解:由余弦定理可知:
=4+9-2×2×3×cos60
=13-12x0.5
=7
所以
(cos60°=½)
以上兩個小例子簡單説明了餘弦定理的作用。
- 參考資料
-
- 1. 劉紹學主編.普通教育課程標準實驗教科書 數學5 必修A版.北京:人民教育出版社,2007年1月第3版:第5-9頁
- 2. 正弦、餘弦定理在三角形中的應用 .中國知網[引用日期2017-11-27]