單調性

函數的單調性（monotonicity）也叫函數的增減性，可以定性描述在一個指定區間內，函數值變化與自變量變化的關係。當函數f(x) 的自變量在其定義區間內增大（或減小）時，函數值也隨着增大（或減小），則稱該函數為在該區間上具有單調性（單調遞增或單調遞減） ^[1]  。在集合論中，在有序集合之間的函數，如果它們保持給定的次序，是具有單調性的。

如果説明一個函數在某個區間D上具有單調性，則我們將D稱作函數的一個單調區間，則可判斷出：

注意：函數單調性是針對某一個區間而言的，是一個局部性質。因此，説單調性時最好指明區間。

有些函數在整個定義域內是單調的；有些函數在定義域內的部分區間上是增函數，在部分區間上是減函數；有些函數是非單調函數，如常數函數。

函數的單調性是函數在一個單調區間上的“整體”性質，具有任意性，不能用特殊值代替。 ^[2] 

在利用導數討論函數的單調區間時，首先要確定函數的定義域，解決問題的過程中只能在定義域內，通過討論導數的符號來判斷函數的單調區間。

如果一個函數具有相同單調性的單調區間不止一個，那麼這些單調區間不能用“∪”連接，而只能用“逗號”或“和”字隔開。 ^[2] 

一般地，設一連續函數 f(x) 的定義域為D，則

則增函數和減函數統稱單調函數。 ^[3] 

圖象性質

函數單調性的幾何特徵：在單調區間上，增函數的圖象是上升的，減函數的圖象是下降的。

運算性質

1、圖象觀察法

如上所述，在單調區間上，增函數的圖象是上升的，減函數的圖象是下降的。因此，在某一區間內，一直上升的函數圖象對應的函數在該區間單調遞增；

一直下降的函數圖象對應的函數在該區間單調遞減； ^[1] 

注意：對於分段函數，要特別注意。例如，上圖左可以説是一個增函數；上圖右就不能説是在定義域上的一個增函數（在定義域上不具有單調性）。

2、定義法

根據函數單調性的定義，在這裏只闡述用定義證明的幾個步驟:

①在區間D上，任取

,

，令

;

②作差

；

③對

的結果進行變形處理(通常是配方、因式分解、有理化、通分，利用公式等等) ^[5]  ；

④確定符號

的正負；

⑤下結論，根據“同增異減”原則，指出函數在區間上的單調性。 ^[5] 

3、等價定義法

設函數

的定義域為D，在定義域內任取

,

，且

，若

>0，則函數單調遞增；若有 <0，則函數單調遞減(證明從略)，以上是函數單調性的第二定義。

4、求導法

導數與函數單調性密切相關。它是研究函數的另一種方法，為其開闢了許多新途徑。特別是對於具體函數，利用導數求解函數單調性，思路清晰，步驟明確，既快捷又易於掌握，利用導數求解函數單調性，要求熟練掌握基本求導公式。

如果函數y=f(x)在區間D內可導(可微)，若x∈D時恆有f'(x)>0，則函數y=f(x)在區間D內單調增加；反之，若x∈D時，f'(x)<0,則稱函數y=f(x)在區間D內單調減少。

5、複合函數法

在函數y=f[g(x)]的定義域內，令u=g(x)，則y=f[g(x)]的單調性由u=g(x)與y=f(x)的單調性共同確定，方法如下

因此，複合函數的單調性可用“同增異減”來判定，但要考慮某些特殊函數的定義域。

注：y=f(x)+g(x)不屬於複合函數，因此不在此方法的適用範圍內。 ^{[5]  [6]} 

利用函數單調性可以解決很多與函數相關的問題。通過對函數的單調性的研究，有助於加深對函數知識的把握和深化，將一些實際問題轉化為利用函數的單調性來處理。因此對函數單調性的討論小僅有重要的理論價值，而且具有很好的應用價值。本文結合一些典型例題分析説明函數單調性的應用，如利用函數的單調性求最值、解方程、證明不等式等。 ^[6] 

1、利用函數單調性求最值

求函數的最大(小)值有多種方法，但基本的方法是通過函數的單調性來判定，特別是對於小可導的連續點，開區間或無窮區間內最大(小)值的分析，一般都用單調性來判定。

2利用函數單調性解方程

函數單調性是函數一個非常重要的性質，由於單調函數

中x與y是一對應的，這樣我們就可把複雜的方程通過適當變形轉化為型如“

”方程，從而利用函數單調性解方程x=a，使問題化繁為簡，而構造單調函數是解決問題的關鍵。

3、利用函數單調性證明不等式

首先，根據不等式的特點，構造一個單調函數；其次，判別此函數在某區間[a,b]上為單調函數；最後，由單調函數的定義得到我們要證明的不等式。