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減函數
鎖定
減函數定義
一般地,設函數f(x)的定義域為I,如果對於定義域I內的某個區間D上的任意兩個自變量的值x1,x2,當x1<x2時,都有f(x1)> f(x2),那麼就説f(x)在區間D上是減函數。
[1]
即隨着自變量x增大,函數值y減小的函數為減函數。
減函數單調性
減函數單調性的定義
減函數單調性的證明
用定義法證明單調性的步驟:
(1)任取x1,x2∈D,且滿足x1<x2;
(2)作差f(x1)-f(x2);
(3)變形(通常是因式分解和配方);
(4)定號(即判斷f(x1)-f(x2)的正負);
在證明函數為減函數時,只需要證明:當x1<x2時f(x1)-f(x2)>0。在減函數的圖像中,函數圖像從左往右是下降的,即函數值隨自變量的增大而減小。
減函數單調性的判斷方法
(1)定義法:即“取值(定義域內)→作差→變形→定號→判斷”;
(2)圖像法:先作出函數圖像,利用圖像直觀判斷函數的單調性;
(4)求導法:假定函數f在區間[a,b]上連續且在(a,b)上可微,若每個點x∈(a,b)有f'(x)>0,則f在[a,b]上是遞增的;若每個點x∈(a,b)有f'(x)<0,則f在[a,b]上是遞減的。
[2]
減函數注意事項
(2)函數f(x)在給定區間上的單調性是函數在該區間上的整體性質;
(3)函數的單調性定義中x1,x2有三個特徵:任意性、有大小、屬於同一個單調區間;
(5)區間端點的寫法:對於單獨的一點,由於它的函數值是唯一確定的常數,沒有增減變化,所以不存在單調性問題,因此在寫單調區間時,可以包括端點,也可以不包括端點,但對於某些點無意義時,單調區間就不包括這些點。
[3]
減函數性質
(1)增函數+增函數=增函數;
(2)減函數+減函數=減函數;
(3)增函數-減函數=增函數;
(4)減函數-增函數=減函數。
減函數實例
判斷函數y=-x^3的單調性。
解:易得該函數是整函數,故定義域為R。
(1)利用定義法來判斷該函數的單調性。
任取x1,x2∈R,且滿足x1<x2,則有:
最終兩個因式中第一個因式小於零,第二個因式恆大於零,且兩因式前有一個負號,故有f(x1)-f(x2)>0,即有:當x1-x2<0時,有f(x1)-f(x2)>0,故該函數在R上為減函數。
(2)利用圖像法來判斷。
對於常見函數y=x^3的圖像,如右圖所示,易得該函數圖像從左往右看是上升的趨勢,故該函數在定義域R上為增函數。而函數y=-x^3與y=x^3相差一個負號,在圖象表示為關於x軸對稱,故易得函數y=-x^3的圖像從左往右看是下降的趨勢,因此函數y=-x^3在定義域R上為一個減函數。
(3)利用求導法來判斷。
對函數進行求導,得
恆成立,故有該函數在定義域R上為減函數。