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數學

(學科)

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數學[英語:mathematics,源自古希臘語μθημα(máthēma);經常被縮寫為math或maths],是研究數量、結構、變化、空間以及信息等概念的一門學科
數學是人類對事物的抽象結構與模式進行嚴格描述的一種通用手段,可以應用於現實世界的任何問題,所有的數學對象本質上都是人為定義的。從這個意義上,數學屬於形式科學,而不是自然科學。不同的數學家和哲學家對數學的確切範圍和定義有一系列的看法。
在人類歷史發展和社會生活中,數學發揮着不可替代的作用,同時也是學習和研究現代科學技術必不可少的基本工具。
中文名
數學
外文名
Mathematics(簡稱 Math 或 Maths)
學科分類
一級學科
相關著作
九章算術、幾何原本
著名數學家
阿基米德牛頓歐拉高斯
起    源
人類早期的生產活動
研究對象
數量、運算、結構、空間、圖形、信息等數學概念
意    義
人類對事物的抽象結構與模式進行嚴格描述的一種通用手段
術語來源
希臘語 μθημα(máthēma)

數學數學分支

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2. 數理邏輯與數學基礎
a:演繹邏輯學(也稱符號邏輯學),b:證明論(也稱元數學),c:遞歸論,d:模型論,e:公理集合論,f:數學基礎,g:數理邏輯與數學基礎其他學科。
a:初等數論,b:解析數論,c:代數數論,d:超越數論,e:丟番圖逼近,f:數的幾何,g:概率數論,h:計算數論,i:數論其他學科。
a:線性代數,b:羣論,c:域論,d:李羣,e:李代數,f:Kac-Moody代數,g:環論(包括交換環與交換代數,結合環與結合代數,非結合環與非結合代數等),h:模論,i:格論,j:泛代數理論,k:範疇論,l:同調代數,m:代數K理論,n:微分代數,o:代數編碼理論,p:代數學其他學科。
a:幾何學基礎,b:歐氏幾何學,c:非歐幾何學(包括黎曼幾何學等),d:球面幾何學,e:向量和張量分析,f:仿射幾何學,g:射影幾何學,h:微分幾何學,i:分數維幾何,j:計算幾何學,k:幾何學其他學科。
a:點集拓撲學,b:代數拓撲學,c:同倫論,d:低維拓撲學,e:同調論,f:維數論,g:格上拓撲學,h:纖維叢論,i:幾何拓撲學,j:奇點理論,k:微分拓撲學,l:拓撲學其他學科。
a:微分學,b:積分學,c:級數論,d:數學分析其他學科。
a:實變函數論,b:單複變函數論,c:多複變函數論,d:函數逼近論,e:調和分析,f:複流形,g:特殊函數論,h:函數論其他學科。
a:定性理論,b:穩定性理論。c:解析理論,d:常微分方程其他學科。
a:微分動力系統,b:拓撲動力系統,c:復動力系統,d:動力系統其他學科。
a:線性算子理論,b:變分法,c:拓撲線性空間,d:希爾伯特空間,e:函數空間,f:巴拿赫空間,g:算子代數 h:測度與積分,i:廣義函數論,j:非線性泛函分析,k:泛函分析其他學科。
a:插值法逼近論,b:常微分方程數值解,c:偏微分方程數值解,d:積分方程數值解,e:數值代數,f:連續問題離散化方法,g:隨機數值實驗,h:誤差分析,i:計算數學其他學科。
a:幾何概率,b:概率分佈,c:極限理論,d:隨機過程(包括正態過程與平穩過程、點過程等),e:馬爾可夫過程,f:隨機分析,g:鞅論,h:應用概率論(具體應用入有關學科),i:概率論其他學科。
a:抽樣理論(包括抽樣分佈、抽樣調查等 ),b:假設檢驗,c:非參數統計,d:方差分析,e:相關回歸分析,f:統計推斷,g:貝葉斯統計(包括參數估計等),h:試驗設計,i:多元分析,j:統計判決理論,k:時間序列分析,l:數理統計學其他學科。
19. 應用統計數學
a:統計質量控制,b:可靠性數學,c:保險數學,d:統計模擬。
20. 應用統計數學其他學科
a:線性規劃,b:非線性規劃,c:動態規劃,d:組合最優化,e:參數規劃,f:整數規劃,g:隨機規劃,h:排隊論,i:對策論(也稱博弈論),j:庫存論,k:決策論,l:搜索論,m:圖論,n:統籌論,o:最優化,p:運籌學其他學科。
25. 應用數學(具體應用入有關學科)
26. 數學其他學科

數學發展歷史

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數學(漢語拼音:shù xué;希臘語:μαθηματικ;英語:mathematics或maths),其英語源自於古希臘語的μθημα(máthēma),有學習、學問、科學之意。古希臘學者視其為哲學之起點,“學問的基礎”。另外,還有個較狹隘且技術性的意義——“數學研究”。即使在其語源內,其形容詞意義凡與學習有關的,亦被用來指數學。
其在英語的複數形式,及在法語中的複數形式加-es,成mathématiques,可溯至拉丁文的中性複數(mathematica),由西塞羅譯自希臘文複數τα μαθηματικά(ta mathēmatiká)。
在中國古代,數學叫作算術,又稱算學,最後才改為數學。中國古代的算術是六藝之一(六藝中稱為“數”)。
數學起源於人類早期的生產活動,古巴比倫人從遠古時代開始已經積累了一定的數學知識,並能應用實際問題。從數學本身看,他們的數學知識也只是觀察和經驗所得,沒有綜合結論和證明,但也要充分肯定他們對數學所做出的貢獻。
基礎數學的知識與運用是個人與團體生活中不可或缺的一部分。其基本概念的精煉早在古埃及、美索不達米亞古印度內的古代數學文本內便可觀見。從那時開始,其發展便持續不斷地有小幅度的進展。但當時的代數學和幾何學長久以來仍處於獨立的狀態。
代數學可以説是最為人們廣泛接受的“數學”。可以説每一個人從小時候開始學數數起,最先接觸到的數學就是代數學。而數學作為一個研究“數”的學科,代數學也是數學最重要的組成部分之一。幾何學則是最早開始被人們研究的數學分支。
直到16世紀文藝復興時期,笛卡爾創立了解析幾何,將當時完全分開的代數和幾何學聯繫到了一起。從那以後,我們終於可以用計算證明幾何學的定理;同時也可以用圖形來形象的表示抽象的代數方程與三角函數。而其後更發展出更加精微的微積分
現時數學已包括多個分支.創立於二十世紀三十年代的法國的布爾巴基學派則認為:數學,至少純數學,是研究抽象結構的理論。結構,就是以初始概念和公理出發的演繹系統。他們認為,數學有三種基本的母結構:代數結構(、環、、格,……)、序結構偏序全序,……)、拓撲結構鄰域極限連通性維數,……)。 [1] 
數學被應用在很多不同的領域上,包括科學工程醫學經濟學等。數學在這些領域的應用一般被稱為應用數學,有時亦會激起新的數學發現,並促成全新數學學科的發展。數學家也研究純數學,也就是數學本身,而不以任何實際應用為目標。雖然有許多工作以研究純數學為開端,但之後也許會發現合適的應用。
具體地,有用來探索由數學核心至其他領域上之間的連結的子領域:由邏輯、集合論(數學基礎)、至不同科學的經驗上的數學(應用數學)、以較近代的對於不確定性的研究(混沌模糊數學)。
就縱度而言,在數學各自領域上的探索亦越發深入。

數學定義

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亞里士多德把數學定義為“數量數學”,這個定義直到18世紀。從19世紀開始,數學研究越來越嚴格,開始涉及與數量和量度無明確關係的羣論和投影幾何等抽象主題,數學家和哲學家開始提出各種新的定義。這些定義中的一些強調了大量數學的演繹性質,一些強調了它的抽象性,一些強調數學中的某些話題。即使在專業人士中,對數學的定義也沒有達成共識。數學是否是藝術或科學,甚至沒有一致意見。[8]許多專業數學家對數學的定義不感興趣,或者認為它是不可定義的。有些只是説,“數學是數學家做的。”
數學定義的三個主要類型被稱為邏輯學家,直覺主義者和形式主義者,每個都反映了不同的哲學思想學派。都有嚴重的問題,沒有人普遍接受,沒有和解似乎是可行的。
數學邏輯的早期定義是本傑明·皮爾士(Benjamin Peirce)的“得出必要結論的科學”(1870)。在Principia Mathematica,Bertrand Russell和Alfred North Whitehead提出了被稱為邏輯主義的哲學程序,並試圖證明所有的數學概念,陳述和原則都可以用符號邏輯來定義和證明。數學的邏輯學定義是羅素的“所有數學是符號邏輯”(1903)。
直覺主義定義,從數學家L. E. J. Brouwer,識別具有某些精神現象的數學。直覺主義定義的一個例子是“數學是一個接着一個進行構造的心理活動”。直觀主義的特點是它拒絕根據其他定義認為有效的一些數學思想。特別是,雖然其他數學哲學允許可以被證明存在的對象,即使它們不能被構造,但直覺主義只允許可以實際構建的數學對象。
正式主義定義用其符號和操作規則來確定數學。 Haskell Curry將數學簡單地定義為“正式系統的科學”。[33]正式系統是一組符號,或令牌,還有一些規則告訴令牌如何組合成公式。在正式系統中,公理一詞具有特殊意義,與“不言而喻的真理”的普通含義不同。在正式系統中,公理是包含在給定的正式系統中的令牌的組合,而不需要使用系統的規則導出。 [2] 

數學結構

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許多諸如數、函數幾何等的數學對象反應出了定義在其中連續運算或關係的內部結構。數學就研究這些結構的性質,例如:數論研究整數在算數運算下如何表示。此外,不同結構卻有着相似的性質的事情時常發生,這使得通過進一步的抽象,然後通過對一類結構用公理描述他們的狀態變得可能,需要研究的就是在所有的結構裏找出滿足這些公理的結構。因此,我們可以學習、環、域和其他的抽象系統。把這些研究(通過由代數運算定義的結構)可以組成抽象代數的領域。由於抽象代數具有極大的通用性,它時常可以被應用於一些似乎不相關的問題,例如一些古老的尺規作圖的問題終於使用了伽羅瓦理論解決了,它涉及到域論羣論。代數理論的另外一個例子是線性代數,它對其元素具有數量和方向性的向量空間做出了一般性的研究。這些現象表明了原來被認為不相關的幾何和代數實際上具有強力的相關性。組合數學研究列舉滿足給定結構的數對象的方法。

數學空間

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空間的研究源自於歐式幾何。三角學則結合了空間及數,且包含有非常著名的勾股定理、三角函數等。現今對空間的研究更推廣到了更高維的幾何、非歐幾何拓撲學。數和空間在解析幾何、微分幾何和代數幾何中都有着很重要的角色。在微分幾何中有着纖維叢流形上的計算等概念。在代數幾何中有着如多項式方程的解集等幾何對象的描述,結合了數和空間的概念;亦有着拓撲羣的研究,結合了結構與空間。李羣被用來研究空間、結構及變化。

數學基礎

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主條目:數學基礎
為了弄清楚數學基礎,數學邏輯和集合論等領域被髮展了出來。德國數學家康托爾(1845~1918)首創集合論,大膽地向“無窮大”進軍,為的是給數學各分支提供一個堅實的基礎,而它本身的內容也是相當豐富的,提出了實無窮的思想,為以後的數學發展作出了不可估量的貢獻。
集合論在20世紀初已逐漸滲透到了各個數學分支,成為了分析理論、測度論、拓撲學及數理科學中必不可少的工具。20世紀初,數學家希爾伯特在德國傳播了康托爾的思想,把集合論稱為“數學家的樂園”和“數學思想最驚人的產物”。英國哲學家羅素把康託的工作譽為“這個時代所能誇耀的最巨大的工作”。

數學邏輯

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主條目:數理邏輯
數學邏輯專注在將數學置於一堅固的公理架構上,並研究此一架構的成果。就其本身而言,其為哥德爾第二不完備定理的產地,而這或許是邏輯中最廣為流傳的成果.現代邏輯被分成遞歸論模型論證明論,且和理論計算機科學有着密切的關聯性。

數學符號

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主條目:數學符號
也許我國古代的算籌是世界上最早使用的符號之一,起源於商代的占卜。
我們現今所使用的大部分數學符號都是到了16世紀後才被髮明出來的。在此之前,數學是用文字書寫出來,這是個會限制住數學發展的刻苦程序。現今的符號使得數學對於人們而言更便於操作,但初學者卻常對此感到怯步。它被極度的壓縮:少量的符號包含著大量的訊息。如同音樂符號一般,現今的數學符號有明確的語法和難以以其他方法書寫的訊息編碼。

數學嚴謹性

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數學語言亦對初學者而言感到困難。如何使這些字有着比日常用語更精確的意思,亦困惱着初學者,如開放和等字在數學裏有着特別的意思。數學術語也包括如同胚及可積性等專有名詞。但使用這些特別符號和專有術語是有其原因的:數學需要比日常用語更多的精確性。數學家將此對語言及邏輯精確性的要求稱為“嚴謹”。
數學是人類對事物的抽象結構與模式進行嚴格描述的一種通用手段,可以應用於現實世界的任何問題。從這個意義上,數學屬於形式科學,而不是自然科學。所有的數學對象本質上都是人為定義的,它們並不存在於自然界,而只存在於人類的思維與概念之中。因而,數學命題的正確性,無法像物理、化學等以研究自然現象為目標的自然科學那樣,能夠藉助於可以重複的實驗、觀察或測量來檢驗,而是直接利用嚴謹的邏輯推理加以證明。一旦通過邏輯推理證明了結論,那麼這個結論也就是正確的。
數學的公理化方法實質上就是邏輯學方法在數學中的直接應用。在公理系統中,所有命題與命題之間都是由嚴謹的邏輯性聯繫起來的。從不加定義而直接採用的原始概念出發,通過邏輯定義的手段逐步地建立起其它的派生概念;由不加證明而直接採用作為前提的公理出發,藉助於邏輯演繹手段而逐步得出進一步的結論,即定理;然後再將所有概念和定理組成一個具有內在邏輯聯繫的整體,即構成了公理系統。
嚴謹是數學證明中很重要且基本的一部分。數學家希望他們的定理以系統化的推理依着公理被推論下去。這是為了避免依着不可靠的直觀,從而得出錯誤的“定理”或“證明”,而這情形在歷史上曾出現過許多的例子。在數學中被期許的嚴謹程度因着時間而不同:希臘人期許着仔細的論點,但在牛頓的時代,所使用的方法則較不嚴謹。牛頓為了解決問題所作的定義,到了19世紀才讓數學家用嚴謹的分析及正式的證明妥善處理。數學家們則持續地在爭論電腦輔助證明的嚴謹度。當大量的計算難以被驗證時,其證明亦很難説是有效地嚴謹。

數學數量

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數量的學習起於數,一開始為熟悉的自然數及整數與被描述在算術內的有理數和無理數。
具體來講:由於計數的需要,人類從現實事物中抽象出了自然數,它是數學中一切“數”的起點。自然數對減法不封閉,為了對減法封閉,我們將數系擴充至整數;而為了對除法不封閉,而為了對除法封閉,我們將數系擴充至有理數;對於開方運算不封閉,我們將數系擴充至代數數(實際上代數數是一個更廣的概念)。另一方面,對於極限運算不封閉,我們又將數系擴充到實數。最後,為了避免負數在實數範圍內無法開偶數次方運算,我們將數系擴充到複數。複數是包含實數的最小代數閉域,我們對任意複數進行四則運算,其化簡結果都是複數。
另一個與“量”有關的概念是無限集合的“勢”,它導致了基數和之後對無限的另外一種概念:阿列夫數,它允許無限集合之間的大小可以做有意義的比較。

數學簡史

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數學西方數學簡史

數學的演進大約可以看成是抽象化的持續發展,或是題材的延展,而東西方文化也採用了不同的角度,歐洲文明發展出來幾何學,而中國則發展出算術。第一個被抽象化的概念大概是數字(中國的算籌),其對兩個蘋果及兩個橘子之間有某樣相同事物的認知是人類思想的一大突破.除了認知到如何去數實際物件的數量,史前的人類也瞭解如何去數抽象概念的數量,如時間——日、季節和年。算術(加減乘除)也自然而然地產生了。
更進一步則需要寫作或其他可記錄數字的系統,如符木或於印加人使用的奇普。歷史上曾有過許多各異的記數系統。
古時,數學內的主要原理是為了研究天文,土地糧食作物的合理分配,税務和貿易等相關的計算。數學也就是為了瞭解數字間的關係,為了測量土地,以及為了預測天文事件而形成的。這些需要可以簡單地被概括為數學對數量、結構、空間及時間方面的研究。
西歐從古希臘到16世紀經過文藝復興時代,初等代數、以及三角學初等數學已大體完備,但尚未出現極限的概念。
17世紀在歐洲變量概念的產生,使人們開始研究變化中的量與量的互相關係和圖形間的互相變換。在經典力學的建立過程中,結合了幾何精密思想的微積分的方法被髮明。隨着自然科學和技術的進一步發展,為研究數學基礎而產生的集合論和數理邏輯等領域也開始慢慢發展。 [3] 

數學中國數學簡史

主條目:中國數學史
數學古稱算學,是中國古代科學中一門重要的學科,根據中國古代數學發展的特點,可以分為五個時期:萌芽;體系的形成;發展;繁榮和中西方數學的融合。

數學相關

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中國古代算術的許多研究成果裏面就早已孕育了後來西方數學才涉及的思想方法,近現代也有不少世界領先的數學研究成果就是以華人數學家命名的:
李善蘭恆等式數學家李善蘭級數求和方面的研究成果,在國際上被命名為“李善蘭恆等式”(或李氏恆等式)。
華氏定理數學家華羅庚關於完整三角和的研究成果被國際數學界稱為“華氏定理”;另外他與數學家王元提出多重積分近似計算的方法被國際上譽為“華—王方法”。
蘇氏錐面數學家蘇步青在仿射微分幾何學方面的研究成果在國際上被命名為“蘇氏錐面”。
熊氏無窮級數學家熊慶來關於整函數與無窮級的亞純函數的研究成果被國際數學界譽為“熊氏無窮級”。
陳示性類數學家陳省身關於示性類的研究成果被國際上稱為“陳示性類”。
周氏座標數學家周煒良在代數幾何學方面的研究成果被國際數學界稱為“周氏座標;另外還有以他命名的“周氏定理”和“周氏環”。
吳氏方法數學家吳文俊關於幾何定理機器證明的方法被國際上譽為“吳氏方法”;另外還有以他命名的“吳氏公式”。
王氏悖論】數學家王浩關於數理邏輯的一個命題被國際上定為“王氏悖論”。
柯氏定理數學家柯召關於卡特蘭問題的研究成果被國際數學界稱為“柯氏定理”;另外他與數學家孫琦在數論方面的研究成果被國際上稱為“柯—孫猜測”。
陳氏定理】數學家陳景潤在哥德巴赫猜想研究中提出的命題被國際數學界譽為“陳氏定理”。
楊—張定理數學家楊樂和張廣厚在函數論方面的研究成果被國際上稱為“楊—張定理”。
陸氏猜想數學家陸啓鏗關於常曲率流形的研究成果被國際上稱為“陸氏猜想”。
【夏氏不等式】數學家夏道行在泛函積分和不變測度論方面的研究成果被國際數學界稱為“夏氏不等式”。
姜氏空間數學家姜伯駒關於尼爾森數計算的研究成果被國際上命名為“姜氏空間”;另外還有以他命名的“姜氏子羣”。
侯氏定理數學家侯振挺關於馬爾可夫過程的研究成果被國際上命名為“侯氏定理”。
周氏猜測】數學家周海中關於梅森素數分佈的研究成果被國際上命名為“周氏猜測”。
王氏定理數學家王戌堂關於點集拓撲學的研究成果被國際數學界譽為“王氏定理”。
袁氏引理數學家袁亞湘在非線性規劃方面的研究成果被國際上命名為“袁氏引理”。
景氏算子數學家景乃桓在對稱函數方面的研究成果被國際上命名為“景氏算子”。
陳氏文法數學家陳永川在組合數學方面的研究成果被國際上命名為“陳氏文法”。

數學數學名言

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數學外國人物

萬物皆數。——畢達哥拉斯
幾何無王者之道。——歐幾里德
數學是上帝用來書寫宇宙的文字。——伽利略
我決心放棄那個僅僅是抽象的幾何。這就是説,不再去考慮那些僅僅是用來練思想的問題.我這樣做,是為了研究另一種幾何,即目的在於解釋自然現象的幾何。——笛卡兒(Rene Descartes,1596~1650)
數學家們都試圖在這一天發現素數序列的一些秩序,我們有理由相信這是一個謎,人類的心靈永遠無法滲入。——歐拉
數學中的一些美麗定理具有這樣的特性: 它們極易從事實中歸納出來,但證明卻隱藏的極深。數學是科學之王。——高斯
這就是結構好的語言的好處,它簡化的記法常常是深奧理論的源泉。——拉普拉斯(Pierre Simon Laplace,1749~1827)
如果認為只有在幾何證明裏或者在感覺的證據裏才有必然,那會是一個嚴重的錯誤。——柯西(Augustin Louis Cauchy,1789~1857)
數學的本質在於它的自由。——康托爾(Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor,1845~1918)
音樂能激發或撫慰情懷,繪畫使人賞心悦目,詩歌能動人心絃,哲學使人獲得智慧,科學可改善物質生活,但數學能給予以上的一切。——克萊因(Christian Felix Klein,1849~1925)
只要一門科學分支能提出大量的問題, 它就充滿着生命力, 而問題缺乏則預示獨立發展的終止或衰亡。——希爾伯特(David Hilbert,1862~1943)
問題是數學的心臟.——保羅·哈爾莫斯(Paul Halmos,1916~2006)
時間是個常數,但對勤奮者來説,是個“變數”。用“分”來計算時間的人比用“小時”來計算時間的人時間多59倍。——雷巴柯夫

數學中國人物

事類相推,各有攸歸,故枝條雖分而同本幹知,發其一端而已.又所析理以辭,解體用圖,庶亦約而能周,通而不黷,覽之者思過半矣.——劉徽
遲疾之率,非出神怪,有形可檢,有數可推.——祖沖之(429 ~500)
新的數學方法和概念,常常比解決數學問題本身更重要.——華羅庚
數學表達上準確簡潔、邏輯上抽象普適、形式上靈活多變,是宇宙交際的理想工具.——周海中 [4] 
科學需要實驗.但實驗不能絕對精確.如有數學理論,則全靠推論,就完全正確了.這科學不能離開數學的原因.
許多科學的基本觀念,往往需要數學觀念來表示.所以數學家有飯吃了,但不能得諾貝爾獎,是自然的.數學中沒有諾貝爾獎,這也許是件好事.諾貝爾獎太引人注目,會使數學家無法專注於自己的研究.——陳省身
現代高能物理到了量子物理以後,有很多根本無法做實驗,在家用紙筆來算,這跟數學家想樣的差不了多遠,所以説數學在物理上有着不可思議的力量.——丘成桐
看書和寫作業要注意順序.我們要養成良好的學習方法,儘量回家後先複習一下當天學習的知識,特別是所記的筆記要重點關照,然後再寫作業,這樣效果更佳. [5] 

數學標點符號

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數學是一門國際性的學科,對各個方面都要求嚴謹。
我國規定初等及以上的數學已可以算作是科技類文獻。
我國規定文獻類文章句號必須用“.”,數學採用的目的一是為此,二是為了避免和下腳標混淆,三是因為我國曾在國際上投稿數學類研究報告,人家卻不採用,因為外國的句號大多不是“。”.
在證明題中,∵(因為)後面要用“,”,∴(所以)後面要用“.”,在一道大題中若有若干小問,則每小問結束接“;”,最後一問結束用“.”,在①②③④這樣的序號後都應用“;”表連接,最後一個序號後用“.”表結束.

數學學科分佈

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具有數學一級學科國家重點學科的大學 [6] 
(注:一級學科國家重點學科所覆蓋的二級學科都是國家重點學科.)
具有數學二級學科國家重點學科的大學(不包括以上列表) [5] 
(無)

數學公式

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公式是數學重要部分。例如……

數學參見

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數學八大難題

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前七大難題是公認的七大難題,第八難題為世界三大猜想之一。
一、P(多項式算法)問題對 NP(非多項式算法)問題
在一個週六的晚上,你參加了一個盛大的晚會。由於感到侷促不安,你想知道這一大廳中是否有你已經認識的人。你的主人向你提議説,你一定認識那位正在甜點盤附近角落的女士羅絲。不費一秒鐘,你就能向那裏掃視,並且發現你的主人是正確的。然而,如果沒有這樣的暗示,你就必須環顧整個大廳,一個個地審視每一個人,看是否有你認識的人。生成問題的一個解通常比驗證一個給定的解時間花費要多得多。這是這種一般現象的一個例子。
與此類似的是,如果某人告訴你,數字13,717,421可以寫成兩個較小的數的乘積,你可能不知道是否應該相信他,但是如果他告訴你它可以因子分解為3607乘上3803,那麼你就可以用一個袖珍計算器容易驗證這是對的。不管我們編寫程序是否靈巧,判定一個答案是可以很快利用內部知識來驗證,還是沒有這樣的提示而需要花費大量時間來求解,被看作邏輯和計算機科學中最突出的問題之一。它是斯蒂文·考克(Stephen Cook)於1971年陳述的。
二、霍奇(Hodge)猜想
二十世紀的數學家們發現了研究複雜對象的形狀的強有力的辦法。基本想法是問在怎樣的程度上,我們可以把給定對象的形狀通過把維數不斷增加的簡單幾何營造塊粘合在一起來形成。這種技巧是變得如此有用,使得它可以用許多不同的方式來推廣;最終導至一些強有力的工具,使數學家在對他們研究中所遇到的形形色色的對象進行分類時取得巨大的進展。不幸的是,在這一推廣中,程序的幾何出發點變得模糊起來。在某種意義下,必須加上某些沒有任何幾何解釋的部件。霍奇猜想斷言,對於所謂射影代數簇這種特別完美的空間類型來説,稱作霍奇閉鏈的部件實際上是稱作代數閉鏈的幾何部件的(有理線性)組合。
三、龐加萊(Poincare)猜想(已經被證明)
如果我們伸縮圍繞一個蘋果表面的橡皮帶,那麼我們可以既不扯斷它,也不讓它離開表面,使它慢慢移動收縮為一個點。另一方面,如果我們想象同樣的橡皮帶以適當的方向被伸縮在一個輪胎面上,那麼不扯斷橡皮帶或者輪胎面,是沒有辦法把它收縮到一點的。我們説,蘋果表面是“單連通的”,而輪胎面不是。大約在一百年以前,龐加萊已經知道,二維球面本質上可由單連通性來刻畫,他提出三維球面(四維空間)中與原點有單位距離的點的全體)的對應問題。這個問題立即變得無比困難,從那時起,數學家們就在為此奮鬥。
四、黎曼(Riemann)假設
有些數具有不能表示為兩個更小的數的乘積的特殊性質,例如:2,3,5,7 等等。這樣的數稱為素數;它們在純數學及其應用中都起着重要作用。在所有自然數中,這種素數的分佈並不遵循任何有規則的模式;然而,德國數學家黎曼(1826~1866)觀察到,素數的頻率緊密相關於一個精心構造的所謂黎曼蔡塔函數z(s)的性態。著名的黎曼假設斷言,方程z(s)=0的所有有意義的解都在一條直線上。這點已經對於開始的1,500,000,000個解驗證過。證明它對於每一個有意義的解都成立將為圍繞素數分佈的許多奧秘帶來光明。
五、楊-米爾斯(Yang-Mills)存在性和質量缺口
量子物理的定律是以經典力學的牛頓定律對宏觀世界的方式對基本粒子世界成立的。大約半個世紀以前,楊振寧和米爾斯發現,量子物理揭示了在基本粒子物理與幾何對象的數學之間的令人注目的關係。基於楊-米爾斯方程的預言已經在如下的全世界範圍內的實驗室中所履行的高能實驗中得到證實:布羅克哈文斯坦福、歐洲粒子物理研究所和筑波。儘管如此,他們的既描述重粒子、又在數學上嚴格的方程沒有已知的解。特別是,被大多數物理學家所確認、並且在他們的對於“夸克”的不可見性的解釋中應用的“質量缺口”假設,從來沒有得到一個數學上令人滿意的證實。在這一問題上的進展需要在物理上和數學上兩方面引進根本上的新觀念。
六、納維葉-斯托克斯(Navier-Stokes)方程的存在性與光滑性
起伏的波浪跟隨着我們的正在湖中蜿蜒穿梭的小船,湍急的氣流跟隨着我們的現代噴氣式飛機的飛行。數學家和物理學家深信,無論是微風還是湍流,都可以通過理解納維葉—斯托克斯方程的解,來對它們進行解釋和預言。雖然這些方程是19世紀寫下的,我們對它們的理解仍然極少。挑戰在於對數學理論作出實質性的進展,使我們能解開隱藏在納維葉-斯托克斯方程中的奧秘。
七、貝赫(Birch)和斯維訥通-戴爾(Swinnerton-Dyer)猜想
數學家總是被諸如x^2+y^2=z^2那樣的代數方程的所有整數解的刻畫問題着迷。歐幾里德曾經對這一方程給出完全的解答,但是對於更為複雜的方程,這就變得極為困難。事實上,正如馬蒂雅謝維奇(Yu. V. Matiyasevich)指出,希爾伯特第十問題是不可解的,即,不存在一般的方法來確定這樣的方法是否有一個整數解。當解是一個阿貝爾簇的點時,貝赫和斯維訥通-戴爾猜想認為,有理點的羣的大小與一個有關的蔡塔函數z(s)在點s=1附近的性態。特別是,這個有趣的猜想認為:如果z(1)等於0,那麼存在無限多個有理點(解);相反,如果z(1)不等於0,那麼只存在有限多個這樣的點。
八、哥德巴赫猜想
在1742年6月7日給歐拉的信中,哥德巴赫提出了以下猜想:a) 任一不小於6之偶數,都可以表示成兩個奇質數之和;b) 任一不小於9之奇數,都可以表示成三個奇質數之和。歐拉在回信中也提出另一等價版本,即任一大於2的偶數都可寫成兩個質數之和。通常把這兩個命題統稱為哥德巴赫猜想。把命題“任何一個大偶數都可以表示成為一個素因子個數不超過a個的數與另一個素因子不超過b個的數之和”記作“a+b”,哥氏猜想就是要證明“1+1”成立。
1966年陳景潤證明了“1+2”的成立,即“任何一個大偶數都可表示成一個素數與另一個素因子不超過2個的數之和”。 [7] 
參考資料