整函數

整函數總可以在原點展開成泰勒級數，它在全平面收斂，整函數以∞點為唯一的孤立奇點，它在∞點的羅朗展式與它在原點的泰勒展式有一樣的形式。當∞點是整函數的可去奇點時，這個整函數只能是常數，這就是著名的劉維爾定理，通常表述為“有界整函數必為常數”。

若f(z)在全平面C上全純且有界，則f為常數。 ^[1] 

若|f(z)|≤M，當z∈C。固定a∈C，作D(a,R)，由柯西不等式得到|f'(a)|≤M/R。令R→∞，得到f'(a)=0。由於a為C中任意一點，故f'(z)=0對任意z∈C都成立，因此f(z)在C上為常數。

利用這一定理可以得到代數基本定理的簡單證明。當∞點是整函數的n階極點時，這個整函數是一個n次多項式 ，也就是它的泰勒展式（或羅朗展式）只有有限多項。當∞點是整函數的本性奇點時，這個整函數的泰勒展式一定有無限多項，這類整函數稱為超越整函數。由代數基本定理知道n次多項式一定有n個零點(也就是根)，它總可以分解為n個一次因式的積，對於超越整函數，它可能有無限多個零點 ，比如sin(πz)就以全體整數為其零點集，也有的超越整函數沒有零點，如e^z就處處不為零，一般來説，沒有零點的超越整函數總可以表成e^g(z)的形式，此處g(z)也是一個整函數，而有無限多個零點的超越整函數f(z)也有一個因子分解式 ；形如

其中g(z)是整函數，0是m階零點，z_k是非零零點集，

是

的多項式，這是魏爾斯托拉斯因子分解定理。超越整函數還有一個重要性質：若f(z)是超越整函數，則對任意複數A（包括A=∞），存在點列{z_K}，使z_k→∞（k→∞）而有f(zk)→A。

這一結果有一個更精確的發展：對超越整函數f(z)，最多除去一個值（稱為例外值）外，對所有其他的複數v值（v≠∞），f(z)-v都有無窮多個零點（畢卡定理）。

若f(z)為一整函數，則

（1）z=∞為f(z)的可去奇點的充要條件為：f(z)=常數C。

（2）z=∞為f(z)的m階極點的充要條件為：f(z)是一個m次多項式c₀+c₁z+…+c_mz^m(c_m≠0)。

（3）z=∞為f(z)的本質奇點的充要條件為：展式

有無窮多個c_n不等於零。 ^[2]