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柯西不等式
鎖定
- 中文名
- 柯西不等式
- 外文名
- Cauchy-Buniakowsky-Schwarz Inequality
- 提出者
- 奧古斯丁·路易·柯西
- 提出時間
- 18世紀
- 推廣者
- 赫爾曼·阿曼杜斯·施瓦茨
- 應用學科
- 數學
柯西不等式柯西簡介
柯西(Cauchy Augustin-Louis,1789-1857),法國數學家,1789年8月21日生於巴黎,他的父親路易·弗朗索瓦·柯西是法國波旁王朝的官員,在法國動盪的政治漩渦中一直擔任公職。由於家庭的原因,柯西本人屬於擁護波旁王朝的正統派,是一位虔誠的天主教徒。
他在純數學和應用數學的功底是相當深厚的,很多數學的定理、公式都以他的名字來稱呼,如柯西不等式、柯西積分公式。在數學寫作上,他被認為在數量上僅次於歐拉的人,他一生一共著作了789篇論文和幾本書,以《分析教程》(1821年)和《關於定積分理論的報告》(1827年)最為著名。不過他並不是所有的創作都質量很高,因此他還曾被人批評“高產而輕率”,這點倒是與數學王子(高斯)相反。據説,法國科學院《會刊》創刊的時候,由於柯西的作品實在太多,以致於科學院要負擔很大的印刷費用,超出科學院的預算,因此,科學院後來規定論文最長的只能夠到四頁。柯西較長的論文因而只得投稿到其它地方
[1]
。
柯西不等式定義定理
柯西不等式二維形式
等號成立條件:當且僅當
(即
)時。
一般形式
等號成立條件:
,或
中有至少一方全為零。
上述不等式等同於概述圖中的不等式。
一般形式推廣
柯西不等式向量形式
推廣:
柯西不等式三角形式
等號成立條件:
,且ac+bd
0(即
)。
柯西不等式概率論形式
柯西不等式積分形式
柯西不等式一般形式
設V是一線性空間,在V上定義了一個二元實函數,稱為內積,記做
,它具有以下性質:
1、
2、
3、
4、
,當且僅當
時(α,α)=0
柯西不等式驗證推導
柯西不等式二維形式的證明
柯西不等式三角形式的證明
柯西不等式向量形式的證明
柯西不等式概率論形式的證明
柯西不等式積分形式的證明
構造一個二次函數,
即
柯西不等式一般形式的證明
另一種寫法:
柯西不等式定理推廣
柯西不等式複變函數中
其中M是
的最大值, 。
證明:有柯西積分公式可知
利用柯西-比內公式還可得到更廣義的柯西不等式如下:令A,B為兩個m×n矩陣(m>n),則有:det(A*AT)*det(B*BT)≥(det(A*BT))^2
柯西不等式其他不等式
其他不等式敬請參見以下詞條:
柯西不等式應用例子
柯西不等式在求某些函數最值中和證明某些不等式時是經常使用的理論根據,技巧以拆常數,湊常值為主。
柯西不等式巧拆常數證不等式
例:設a、b、c為正數且互不相等,求證:
。
證明:將a+b+c移到不等式的左邊,化成:
=
附用基本不等式證 設 ,則所證不等式等價於
柯西不等式求某些函數最值
例:求函數
的最大值。
函數的定義域為[5,9],y>0,由柯西不等式變形
則
。