均值不等式

被稱為均值不等式。即調和平均數不超過幾何平均數，幾何平均數不超過算術平均數，算術平均數不超過平方平均數，簡記為“調幾算方”。均值不等式也可以看成是“對於若干個非負實數，它們的算術平均不小於幾何平均”的推論。

其中：

，被稱為調和平均數。

，被稱為幾何平均數。

，被稱為算術平均數。

，被稱為平方平均數。

關於均值不等式的證明方法有很多，數學歸納法（第一數學歸納法或反向歸納法）、拉格朗日乘數法、琴生不等式法、排序不等式法、柯西不等式法等等，都可以證明均值不等式，在這裏簡要介紹數學歸納法的證明方法：

（注：在此證明的，是對n維形式的均值不等式的證明方法。）

用數學歸納法證明，需要一個輔助結論。

引理：設A≥0，B≥0，則

，且僅當B=0或n=1時取等號。

注：引理的正確性較明顯，條件A≥0，B≥0可以弱化為A≥0，A+B≥0，有興趣的同學可以想想如何證明（用數學歸納法）（或用二項展開公式更為簡便）。

原題等價於：

，當且僅當

時取等號。

當n=2時易證；

假設當n=k時命題成立，即

，當且僅當

時取等號。那麼當n=k+1時，不妨設

是

、

......

中最大者，則

設

，

，根據引理

，當且僅當

且

時，即

時取等號。

利用琴生不等式法也可以很簡單地證明均值不等式，同時還有柯西歸納法等等方法。

設函數

；

。

是

上的連續單調遞增函數。

時，

。

這個結論被稱作冪平均不等式

可以注意到，

僅是上述不等式的特殊情形。

⑴對實數a，b，有

（當且僅當a=b時取“=”號），

（當且僅當a=-b時取“=”號）

⑵對非負實數a，b，有

，即

⑶對非負實數a，b，有

⑷對實數a，b，有

⑸對非負實數a，b，有

⑹對實數a，b，有

⑺對實數a，b，c，有

⑻對非負數a，b，有

⑼對非負數a，b，c，有

在幾個特例中，最著名的當屬算術-幾何均值不等式（AM-GM不等式）：

當n=2時，上式即：

當且僅當

時，等號成立。

根據均值不等式的簡化，有一個簡單結論，即

。