引理

引理（lemma）是數學中為了取得某個更好的結論而作為步驟被證明的命題，其意義並不在於自身被證明，而在於為達成最終目的作出貢獻。

一個引理可用於證明多個結論。數學中存在很多著名的引理，這些引理可能對很多問題的解決有幫助。例如歐幾里得引理，烏雷松引理，德恩引理，法圖引理，高斯引理，中山引理，龐加萊引理，里斯引理和佐恩引理等。

什麼叫引理?引理就是在解決某些問題的過程中需要應用一些沒有被證明的結論。把它提出來以後必須加以證明，是正確的才能引用。而通過構造引理使問題得以解決的構造命題的方法叫作構造引理法。 ^[3] 

求函數

的單調區間。 ^[3] 

解：這是一個複合函數，設

，由

，

解得

的定義域為

或

。

先構造兩個引理：

引理1：已知函數

，若

在區間(a，b)上是增函數，其值域(c，d)，又函數

在(c，d)上也是增函數，那麼複合函數

在(a，b)上是增函數。

證明：在(a，b)上任取

，

，使a<

<

<b，

在(a，b)上是增函數，

記

，即

,且

又

函數

在區間(c，d)上是增函數，

，即

，

故函數

在(a，b)上是增函數．

類似地可以證明如下引理：

引理2：已知函數

，若

在區間(a，b)上是減函數，其值域為(c，d)，又函數

在區間(c，d)上是增函數，那麼，複合函數

在區間(c，d)上是減函數。

當x∈(3，+∞)時，

為增函數，

也為增函數，所以(3，+∞)是

的單調增區間；

當x∈(-∞，1)時，

為減函數，而

為增函數，所以(一∞，1)是

的單調減區間。 ^[3] 

注：設內層函數

，外層函數

，複合函數

，複合函數的單調性有四個引理，結論列表如下：