佐恩引理

設P為非空偏序集，若P中任何全序子集均在P中有上界，那麼P至少存在一個極大元 ^[5]  。 ^[1] 

佐恩引理是以數學家佐恩（Max Zorn）的名字命名的。

佐恩引理在1922年首先被庫拉托夫斯基所發現，1935年佐恩亦獨立地發現此結論。 ^[3] 

具體來説，假設(P, <)是一個偏序集，它的一個子集T稱為是一個全序子集，如果對於任意的s, t ∈T，s < t或t < s二者中有且僅有一個成立。而T稱為是有上界的，如果P中存在一個元素u，使得對於任意的t ∈T，都有t < u。在上述定義中，並不要求u一定是T中的元素。而一個元素m ∈T稱為是最大的，如果x ∈T且x ≥ m，則必然有x = m。

佐恩引理，良序定理（well-ordering theorem）和選擇公理（axiom of choice）彼此等價，在集合論的Zermelo-Fraenkel公理（Zermelo-Fraenkel axiom of set theory）基礎上，上述三者中從任一出發均可推得另外兩個。佐恩引理在數學的各個分支中都有重要地位，例如在證明泛函分析（Functional Analysis）的罕-巴那赫定理（Hahn-Banach Theorem）、斷言任一向量空間必有基，拓撲學中證明緊空間的乘積空間仍為緊空間的Tychonoff定理，和抽象代數中證明任何環必然有極大理想和任何域必然有代數閉包的過程中，佐恩引理都起到了關鍵性作用。

佐恩引理的一個典型應用是證明任何一個環R必然有極大理想。用P來表示R的所有真理想（即R的所有雙邊理想，且該理想是R的真子集）。在P中引入一個偏序，定義為集合的包含關係，那麼P中必然有一個極大元素，並且這個元素是R的真子集，從而R有一個極大理想。

為了應用佐恩引理，需要證明P的任何一個全序子集T都有一個上界，即存在一個理想I滿足I is subset of R並且I比T中任何一個元素都大，但I並非R本身。現取I為T中所有理想的並。可以證明，I是一個理想：如果a和b是I中的兩個元素，那麼必然存在T中兩個理想J, K ∈T滿足a ∈J, b ∈K。注意T是一個全序集，所以必然有J ∈ K或者K ∈ J，從而有a, b ∈J或a, b ∈K，無論是哪種情況，均有a + b ∈I。進一步，對於任何r ∈R, a ∈I都可以證明ar，ra ∈I。由此，I成為R的一個理想。

考慮證明的核心部分：利用I = R充要於1 ∈I，可以證明I一定是R的真子集。因為如果1 ∈I，那麼必然有某個J ∈T滿足1 ∈J，這意味着J = R，這與T的選取是矛盾的。

這樣，利用佐恩引理，P必然包含一個最大元素，而這個元素就是R的一個極大理想。

注意這個結論只在R是單位環的時候成立，在R不是單位環的情形下，一般而言這個結論是不成立的。

從選擇公理證明佐恩引理的思路： ^[2] 

假設佐恩引理不成立，那麼存在一個非空的偏序集

，使得它的任何一個全序子集都有上界，但P中任何元素都不是極大元素。然後，對於任何一個全序子集T，可以定義一個相對應的元素b(T)，使其嚴格大於T的任意元素，因為T有一個上界，P中又必然存在一個元素嚴格大於這個上界。為了確實地定義函數b，我們需要用到選擇公理。

利用函數b，可以構造 P的一個全序子集

，這裏作為下標的指標集不僅可以是自然數，也可以是序數。事實上，所有序數組成一個真類，粗略地説，可以認為序數的數目大於任何集合的基數，P也不例外。所以這個序列終會窮盡，這樣就導出了矛盾。

上述的序列可以利用超限歸納法構造：

可以選擇為 P中任意元素，而對於任意一個序數 w，定義

，注意a_v是全序的，所以a_w的定義是合理的。

事實上這個證明的結論略強於佐恩引理：

如果P是一個偏序集，並且它的任何一個良序子集都有上界，那麼對於 P的任意元素 x而言， P中有一個大於等於x的極大元。換言之，存在一個可以與x比較的極大元。

我們也可以直接應用選擇公理證明佐恩引理：

根據選擇公理，對於一個偏序集P的所有非空子集X在存在一個選擇函數 f使得

。從 P本身開始：考慮

，如果

是極大元素則終止，否則構造

，這裏

，如果

是極大元素則終止，否則用相同的技術構造

。

於是我們獲得了P一個全序子集：

根據假設上述全序子集是有上界的。如果上界是上述全序子集中的元素則終止，否則繼續上述步驟，最終總能夠窮盡P。

不過需要説明的是上述證明並沒有闡明為何最終能夠窮盡P，是一個不夠嚴格的證明。見於 Lectures on the Hyperreals -- An Introduction to Nonstandard Analysis 一書。