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偏序關係
鎖定
偏序集合(英語:Partial order set,簡寫poset)是數學中,特別是序理論中,指配備了部分排序關係的集合。 這個理論將排序、順序或排列這個集合的元素的直覺概念抽象化。這種排序不必然需要是全部的,就是説不必要保證此集合內的所有對象的相互可比較性。部分排序集合定義了部分排拓撲。
目錄
偏序關係形式定義
設R是集合A上的一個二元關係,若R滿足:
Ⅰ 自反性:對任意x∈A,有xRx;
Ⅱ 反對稱性(即反對稱關係):對任意x,y∈A,若xRy,且yRx,則x=y;
則稱R為A上的偏序關係,通常記作≼。注意這裏的≼不必是指一般意義上的“小於或等於”。
若然有x≼y,我們也説x排在y前面(x precedes y)。
偏序關係偏序分類
偏序關係非嚴格偏序,自反偏序
給定集合S,“≤”是S上的二元關係,若“≤”滿足:
則稱“≤”是S上的非嚴格偏序或自反偏序。
偏序關係嚴格偏序,反自反偏序
給定集合S,“<”是S上的二元關係,若“<”滿足:
則稱“<”是S上的嚴格偏序或反自反偏序。
偏序關係偏序相關結論
容易證明以下結論:
- 給定集合S上的一個(非嚴格,自反)偏序“≤”,則可自然地誘導出S上的一個(嚴格,反自反)偏序“<”,只需如此定義:a < b,如果 a ≤ b 且 a ≠ b。
- 給定集合S上的一個(嚴格,反自反)偏序“<”,則可自然地誘導出S上的一個(非嚴格,自反)偏序“≤”,只需如此定義:a ≤ b,如果 a < b 或 a = b。
- 給定集合S上的一個(非嚴格,自反)偏序“≤”,其逆關係“≥”也是S上的一個(非嚴格,自反)偏序;
- 給定集合S上的一個(嚴格,反自反)偏序“<”,其逆關係“>”也是S上的一個(嚴格,反自反)偏序;
由上述可知,只要定義了“≤”、“<”、“≥”、“>”中的任何一個,其餘三個關係的定義可以自然誘導而出,這四種關係實際上可以看成一體。故此在不嚴格區分的情況下,只需定義其一即可(通常是“≤”),稱之為集合S上的偏序關係。(“偏序關係”通常被用來稱呼非嚴格偏序關係。)
偏序關係偏序集與序對偶關係
若集合S上定義了一個偏序,則S稱為偏序集(poset);若將其上的偏序關係改為其逆關係,得到的新偏序集S'稱為S的序對偶。
偏序關係例子
下面是一些主要的例子:
一般的説偏序集合的兩個元素x和y可以處於四個相互排斥的關聯中任何一個:要麼x<y,要麼x=y,要麼x>y,要麼x和y是“不可比較”的(三個都不是)。全序集合是用規則排除第四種可能的集合:所有元素對都是可比較的,並且聲稱三分法成立。自然數、整數、有理數和實數都關於它們代數(有符號)大小是全序的,而複數不是。這不是説複數不能全序排序;比如我們可以按詞典次序排序它們,通過x+iy<u+iv當且僅當x<u或(x=u且y<v),但是這種排序沒有合理的大小意義因為它使得1大於100i。按絕對大小排序它們產生在其中所有對都是可比較的預序,但這不是偏序因為1和i有相同的絕對大小但卻不相等,違反了反對稱性
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偏序關係偏序的線性擴展
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