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超限歸納法
鎖定
超限歸納法又稱超窮歸納法、超限歸納證法,數學中用來證明某種類型命題的重要方法。
- 中文名
- 超限歸納法
- 外文名
- transfinite induction
- 別 名
- 超窮歸納法
- 別 名
- 超限歸納證法
- 學 科
- 數理科學
- 定 義
- 數學歸納法向(大)良序集合比如基數或序數的集合的擴展
超限歸納法介紹
超限歸納法超限歸納
假設只要對於所有的 β < α,P(β) 為真,則 P(α) 也為真。那麼超限歸納告訴我們 P 對於所有序數為真。
就是説,如果 P(α) 為真只要 P(β) 對於所有 β < α 為真,則 P(α) 對於所有 α 為真。或者更實用的説:若要證明所有序數 α 都符合性質 P,你可以假定它對於所有更小的 β < α 已經是成立的。
通常證明被分為三種情況:
- 零情況:證明 P(0) 為真。
- 後繼情況:證明對於任何後繼序數β+1, P(β+1) 得出自 P(β)(如果需要的話,也假定對於所有 α < β 有 P(α))。
- 極限情況:證明對於任何極限序數λ, P(λ) 得出自 [P(α) 對於所有 α < λ]。
留意,以上三種情況(證明方法)都是相同的,只是所考慮的序數類型不同。正式來説不用分開考慮它們,但在實踐時,因為它們的證明過程通常相差很大,所以需要分別表述。在一些情況下,“零情況”會被視為一種“極限情況”,因此可以使用極限序數來證明
[1]
。
超限歸納法超限遞歸
超限遞歸是一種構造或定義某種對象的方法,它與超限歸納的概念密切相關。例如,可以定義以序數為下標的集合序列Aα,只要指定三個事項:
- A0是什麼
- 如何確定Aα+1自Aα(又或者是從A0到Aα的部分)
- 對於極限序數 λ,如何確定Aλ自Aα的對於 α < λ 的序列。
注意我們要求G1,G2,G3的定義域足夠廣闊來使上述性質有意義。所以滿足這些性質的序列的唯一性可以使用超限歸納證明。
超限歸納法同選擇公理的聯繫
超限歸納法應用
超限歸納法是數學歸納法的形式之一,可以應用於(大的)良序集,比如説應用到序數或基數,甚至於所有有序的集。
超限歸納法可用於證明一個命題P在所有序數中成立:
基礎:證明P(0)成立;
歸納:證明對於任何一個序數b,如果P(a)在所有序數a<b中成立,那麼P(b)也將成立。
後面一步常常分解為兩種情況:
能應用和一般的歸納法相似的方法的後繼序數(有直接前驅的序數),(P(a)藴涵P(a+1)),
沒有前驅的極限序數,因此不能用這種方法。
顯然,極限序數可以通過將極限序數b看成所有小於b的序數的極限來處理:假定在所有的a<b中P(a)成立,取所有這些情況的極限(通常通過並集公理實現),則證明了P(b)。