極限序數

極限序數(limit ordinal number)是一種序數。若α≠0且α不是後繼序數，則稱α為極限序數。極限序數不直接跟在某個序數之後，因此它有這樣的性質：若β<α，則必有序數γ滿足β<γ<α。因而極限序數α又滿足： ^[1] 

人們經常見到的極限序數有ω，2ω，ω^ω等。

極限序數是一類特殊的序數。指不為0且不是後繼序數的序數。一切序數被分成三類：

1.只含0這個序數。

2.後繼序數。

3.極限序數。

ω={0，1，2，…}是最小的極限序數。序數可按順序列出如下：

0，1，2，…，

ω，ω+1，ω+2，…，

ω·2，ω·2+1，…，ω·3，…，ω·4，…，

ω·ω=ω²，ω²+1，…，ω²+ω，…，

ω²·2，…，ω³，…， ω⁴，…，ω^ω，

ω^ω+1，…，ω^ω·2，…，

ω^ω·ω=ω^ω+1，…，ω^ω2，…，ω^ω3，…，ω^ωω，…，ω^ωωω，…，

其中ω，ω·2，ω·3，ω，ω，ω等都是極限序數。

集合論的基本概念之一，是日常使用的第一、第二……表示次序的數的推廣。序數概念是建立在良序集概念之上的。序數原來被康托爾(Cantor，G.F.P.)定義為良序集的序型，而良序集A的序型A-，作為從A的結構屬性抽象出來的結果，是所有與集A同構的一切良序集的共同特徵，即A-={B|BA}。這一定義從形式上看簡單明瞭，但可惜這樣的不是ZFC系統中的集合。事實上{B|BA}是一個真類。

1923年和1928年，馮·諾伊曼(von Neumann，J.)為了克服上述定義的缺陷，把序數定義為滿足下述條件的良序集α：對於一切ξ∈α，S(ξ)=ξ.這裏S(ξ)={β∈α|β<ξ}稱為良序集α中由ξ生成的初始段。例如，在集合9={0，1，…，8}中任取一元素x，則S(x)={0，1，…，x-1}，所以9是一序數。集A稱為歸納集，如果：

1.∅∈A.

2.只要a∈A，就有a′=a∪{a}∈A.

A的一切歸納子集之交N是自然數集。它是最小的歸納集。N是良序的，且對任何n∈N都有：

S(n)={0，1，…，(n-1)}=n，

所以N是序數，記為ω。自然數集N的每個元素n都是序數，稱為有限序數。其他序數稱為超窮序數。ω是最小的超窮序數.

1937年，魯賓孫(Robinson，R.M.)給出序數的另一等價定義：良序集〈α，∈〉是一個序數，若〈α，∈〉是傳遞集，即只要x∈α且y∈x就有y∈α。

序數也可用遞歸的方法來定義：

1.0是序數。

2.若α是序數，則α′=α∪{α}是序數。

3.若S是序數的集合，則∪S是序數。

4.任一序數都由上述1—3得到。

後三種定義沒有康托爾原定義的缺點。序數有三種，第一種是0;第二種是後繼序數α′=α∪{α}；其他序數屬第三種，稱為極限序數。對任何良序集A，有且僅有一個序數α使A與α同構，此時α稱為A的序數，用A-=α表示。

任何兩個具有相同序數的良序集必定序同構，因此，序數是同構的良序集的共同特徵。這正是康托爾序數概念的實質。對任何序數α和β，定義α<β，當且僅當α∈β。

序數有下列性質：設α，β和γ是序數。

1.若α<β，β<γ， 則α<γ。

2.α<β和β<α不能同時成立。

3.α<β或α=β或β<α之一成立。

4.每個非空的序數集合有一個關於<的最小元，因此每個序數集都可用關係<將它良序化。

5.每個序數集合X，都存在序數α，使得α∉ X。 ^[2] 

一類特殊的序數。如果序數α是某個序數的後繼，則稱α為後繼序數，即存在序數β，使得α=S(β)=β∪{β}。非0且非後繼的序數稱為極限序數。非0的自然數都是後繼序數。例如：

1=0∪{0}=S(0);

2=1∪{1}=S(1);

…

同樣，ω+1，ω+2，…也是後繼序數。但0， ω，ω²等則不是後繼序數。 ^[3]