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基數

(集合論概念)

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基數(cardinal number)在數學上,是集合論中刻畫任意集合大小的一個概念。兩個能夠建立元素間一一對應的集合稱為互相對等集合。例如3個人的集合和3匹馬的集合可以建立一一對應,是兩個對等的集合。
中文名
基數
外文名
cardinal number
外文名
cardinality
所屬學科
集合論

基數定義

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稱兩個集M與N為有相同基數,即|M|=|N|,若存在雙射φ:M→N。且|M|≤|N|,若存在單射φ:M→N。 [3] 

基數應用

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在非形式使用中,基數就是通常被稱為計數的東西。它們同一於開始於 0 的自然數(就是 0, 1, 2, ...)。計數嚴格的是可形式定義為有限基數的東西。無限基數只出在高級數學和邏輯中。
更加形式的説,非零數可以用於兩個目的: 描述一個集合的大小,或描述一個元素在序列中位置。對於有限集合和序列,可以輕易的看出着兩個概念是相符的,因為對於所有描述在序列中的一個位置的數,我們可以構造一個有精確的正好大小的集合,比如 3 描述 'c' 在序列 <'a','b','c','d',...> 中的位置,並且我們可以構造有三個元素的集合 {a,b,c}。但是在處理無限集合的時候,在這兩個概念之間的區別是本質的 — 這兩個概念對於無限集合實際上是不同的。考慮位置示象(aspect)導致序數,而大小示象被這裏描述的基數所普遍化。
在基數形式定義背後的直覺是構造一個集合的相對大小的概念而不提及它有那些成員。對於有限集合這是容易的;你可以簡單的計數一個集合的成員的數目。為了比較更大集合的大小,必須藉助更加微妙的概念。
一個集合 Y 是至少等於(這裏指構造的集合的相對大小)或大於等於一個集合 X,如果有從 X 的元素到 Y 的元素的一個雙射(一一映射)。一一映像對集合 X 的每個元素確定了一個唯一的集合 Y 的元素。這通過例子是最容易理解的;假設我們有集合 X = {1,2,3} 和 Y = {a,b,c,d},則使用這個大小概念我們可以觀察到有一個映射:
1 → a
2 → b
3 → c
這是一對一的,因此結論出 Y 有大於等於 X 的映射。注意元素 d 沒有元素映像到它,但這是允許的,因為我們只要求一一映射,而不必須是一對一併且完全的映射。這個概念的好處是它可以擴展到無限集合。
我們可以擴展這個概念到一個等式風格的關係。兩個集合 X 和 Y 被稱為有相同的勢,如果存在 X 和 Y 之間的雙射。通過 Schroeder-Bernstein定理,這等價於有從 X 到 Y 和從 Y 到 X 的兩個一一映射。我們接着寫為 | X | = | Y |。X 的基數自身經常被定義為有着 | a | = | X | 的最小序數a。這叫做馮·諾伊曼基數指派;為使這個定義有意義,必須證明所有集合都有同某個序數一樣的勢;這個陳述就是良序原理,它等價於選擇公理。然而有可能討論集合的相對的勢而不用明確的指派名字給對象。
在無限旅館悖論也叫做希爾伯特旅館悖論中使用的經典例子。假設你是有無限個房間的旅館的主人。旅館客滿,而又來了一個新客人。有可能通過讓在房間 1 的客人轉移到房間 2,房間 2 的客人轉移到房間 3 以此類推,騰空房間 1 的方式安置這個新客人。我們可以明確的寫出這個映射的一個片段:
1 ↔ 2
2 ↔ 3
3 ↔ 4
...
n ↔ n+1
...
在這種方式下我們可以看出集合 {1,2,3,...} 和集合 {2,3,4,...} 有相同的映射,因為已經展示了這兩個集合之間的雙射。這激發了定義無限集合是有着相同的勢的真子集的任何集合;在這個情況下 {2,3,4,...} 是 {1,2,3,...} 的真子集。
當我們考慮這些大對象的時候,我們還想看看計數次序的概念是否符合上述為無限集合定義的基數。碰巧不符合;通過考慮上面的例子,我們可以看到“比無限大一”某個對象存在,它必須有同我們起初的無限集合有一樣的勢。有可能使用基於計數並依次考慮每個數的想法的叫做序數的不同的數的形式概念,而我們發現勢和序(ordinality)的概念對於無限數是有分歧的。
可以證明實數的勢大於剛才描述的自然數的。這可以使用對角論證法來可視化;勢的經典問題(比如連續統假設)關心發現某一對無限基數之間是否有某個基數。數學家已經描述了更大更大基數的性質。
因為基數是數學中如此常用的概念,使用了各種各樣的名字。勢相同有時叫做等勢、均勢或等多(equipotence, equipollence, equinumerosity)。因此稱有相同映射的兩個集合為等勢的、均勢的或等多的(equipotent, equipollent, equinumerous)。

基數概念

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超限基數 超限基數
根據對等這種關係對集合進行分類,凡是互相對等的集合就劃入同一類。這樣,每一個集合都被劃入了某一類。任意一個集合A所屬的類就稱為集合A的基數,記作|A|(或cardA)。這樣,當A 與B同屬一個類時,A與B 就有相同的基數,即|A|=|B|。而當 A與B不同屬一個類時,它們的基數也不同。
如果把單元素集的基數記作1,兩個元素的集合的基數記作2,等等,則任一個有限集的基數就與通常意義下的自然數一致 。空集的基數也記作0。於是有限集的基數也就是傳統概念下的“個數”。但是,對於無窮,傳統概念沒有個數,而按基數概念,無窮集也有基數,例如,任一可數集(也稱可列集)與自然數集N有相同的基數,即所有可數集是等基數集。不但如此,還可以證明實數集R與可數集的基數不同。所以集合的基數是個數概念的推廣
基數可以比較大小。假設A,B的基數分別是a,β,即|A|=a,|B|=β,如果A與B的某個子集對等,就稱 A 的基數不大於B的基數,記作a≤β,或β≥a。如果 a≤ β,但a≠β( 即A與B不對等 ),就稱A的基數小於B的基數,記作a<β,或β>a。在承認選擇公理的情況下,可以證明基數的三歧性定理——任何兩個集合的基數都可以比較大小,即不存在集合A和B,使得A不能與B的任何子集對等,B也不能與A的任何子集對等。
基數可以進行運算 。設|A|=a ,|B|=β,定義 a+β=|{(a,0):a ∈ A} ∪ {(b,1):b ∈ B}|。另,a與β的積規定為|AxB|,A×B為A與B的笛卡兒積

基數基數算術

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我們可在基數上定義若干算術運算,這是對自然數運算的推廣。給定集合 X 與 Y,定義 X+Y={(x,0):x ∈ X} ∪ {(y,1):y ∈ Y},則基數和是|X| + |Y| = |X + Y|。 若 X 與 Y 不相交,則 |X| + |Y| = |X ∪ Y|。基數積是|X||Y| = |X × Y|,其中 X × Y 是 X 和 Y 的笛卡兒積。基數指數是|X|^|Y| = |X^Y|,其中 X^Y 是所有由 Y 到 X 的函數的集合。

基數普通性質

在有限集時,這些運算與自然數無異。一般地,它們亦有普通算術運算的特質:
加法和乘法是可交換的,即 |X|+|Y|=|Y|+|X| 及 |X||Y|=|Y||X|。
加法和乘法符合結合律,(|X|+|Y|)+|Z|=|X|+(|Y|+|Z|) 及 (|X||Y|)|Z|=|X|(|Y||Z|)
分配律,即 (|X|+|Y|)|Z|=|X||Z|+|Y||Z| [2] 
無窮集合的加法及乘法(假設選擇公理)非常簡單。若 X 與 Y 皆非空而其中之一為無限集,則|X| + |Y| = |X||Y| = max{|X|, |Y|}.
記 2 ^ | X | 是 X 的冪集之基數。由對角論證法可知 2 ^ | X | > | X |,是以並不存在最大的基數。事實上,基數的類是真類。

基數其他性質

還有些關於指數的有趣性質:
|X|^0 = 1 (很奇怪地 0^0 = 1)。
0^|Y| = 0 若 Y 非空。
1^|Y| = 1。
|X| ≤ |Y| 則 |X||Z| ≤ |Y||Z|。
若 |X| 和 |Y| 均為有限集且大於 1,而 Z 是無窮集,則 |X||Z| = |Y||Z|。
若 X 是無窮集而 Y 是非空的有限集,則 |X||Y| = |X|。

基數歷史

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康托爾在1874年~1884年引入最原始的集合論(現稱樸素集合論)時, 首次引入基數概念。 他最先考慮的是集合 {1,2,3} 和 {2,3,4},它們並非相同,但有相同的基數。但究竟何謂兩個集合有相同數目的元素?
康托爾的答案,是所謂一一對應,即把兩個集合的元素一對一的排起來——若能做到,兩個集合的基數自然相同。用相同的方法可比較任意集合,包括無窮集合的大小。
最先被考慮的無窮集合是自然數集 N = {0,1, 2, 3, ...} 及其無限子集。他把所有與 N 能一一對應的集為可數集。 N 的所有無限子集都能與 N一一對應。他把N的基數稱為
(讀做阿列夫零,阿列夫是希伯來文的第一個字母),是最少的超窮基數(transfinite cardinal numbers)。
康托爾發現,原來有理數集合與代數數集合也是可數的。於是在1874年初,他嘗試證明是否所有無限集合均是可數,稍後他得出著名的對角論證法,實數集是不可數的。實數集的基數,記作
,代表連續統
接着康托爾構作一個比一個大的集合,得出一個比一個大的基數,而這些巨大集合的元素已不可如實數般書寫出來。因此關於基數的一般理論,需要一個新的語言描述,這就是康托爾發明集合論的主因。
康托爾隨後提出連續統假設
就是第二個超窮數
, 即繼
之後最小的基數。多年後,數學家發現這假設是不能證明的,即接受或否定它會得出兩套不同但邏輯上可行的公理化集合論。 [1] 

基數基數序列

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對每一個基數,存在一個最小比它大的基數。這在自然數當然是對的。自然數集的基數是
,康托爾稱下一個是
,相類似的,還定義瞭如下一個序列:
注意
。連續統假設猜想,就是
連續統假設是與一般集論公理(即Zermelo-Fraenkel 公理系統加上選擇公理)獨立的。
更一般的假設,即
廣義連續統假設,就是對所有無窮基數
,都不存在界乎
之間的基數。
參考資料
  • 1.    李娜.基於哲學邏輯的集合論研究:浙江大學學報(人文社會科學版),2017
  • 2.    齊浩然.《經典數學系列 神奇的數字》:金盾出版社,-:第99頁
  • 3.    Klaus Janich.拓撲學:Springer,1984