冪集

設有集合A，由A的所有子集組成的集合，稱為A的冪集，記作2^A，即：2^A={S|S⊆A}。

冪集是集合的基本運算之一。由集合的所有子集構成的集合。對任何集合a，a的冪集P(a)={x|x⊆a}。在ZFC公理系統中，冪集公理保證任何集合的冪集均為集合。如P({a，b})={∅，{a}，{b}，{a，b}}.P(·)稱為冪集運算。

康托爾定理為|2^A|＞|A|。 ^[4] 

康託第一個認真研究了無限集合， 分清了可數集和不可數集的區別， 並用對角線法證明了實數集不是可數集。此外，康託指出了冪集的勢總是嚴格大於原集合。由此結論導致了康託猜想（即連續統假設）和康託悖論。 ^[2] 

設集合A是有基數Card（A）的有限集（可數集），則Card（2^A）=2^(Card(A))。

如集合B={a,b}，得2^B={Ø,{a},{b},{a,b}}。那麼Card（2^B）=2^(Card(B))=2²=4，顯然上述公式是正確的。考慮特殊情況空集合Ø的冪集：空集合Ø僅有子集Ø，得到2^Ø={Ø}。

不存在一個集合， 它的勢嚴格大於可數集的勢， 同時嚴格小於實數集的勢。

邏輯學家歌德爾證明了這個連續統假設是不能被證明的，也不能被證偽--就是説不能從現有的數學公理體系推演出該結論或者否定該結論。 ^[2] 

康託悖論：考慮所有的集合組成的最大的集族，這個集族的冪集當然也是集合，所以本身也是該集合的一部分，從而它的勢應該不超過原集合的勢；但是另一方面，冪集的勢又嚴格大於原集合的勢，從而導致矛盾。

羅素首先意識到集合的概念存在問題。他提出所謂的類型論，指出有一類“集合”並不是真正的集合，而是所謂的“類”，集合本身是不能包含自身的；“類”卻可以。從這個角度出發，就可以解釋上述的悖論。 ^[3] 

來證明實數區間[0, 1]中所有的實數組成的集合是不可列集。

其實只要證明(0,1]區間的實數集是不可數的。如果它是可數的，説明其中所有的實數均可排列成一數列t₁,t₂,...,t_n,...，只有這樣，它才能對等於自然數集。 ^[1]  這時將(0,1]中的實數用十進制的無限小數表示：

t₁ = 0. t₁₁ t₁₂ t₁₃ ... t_1n ...

t₂ = 0. t₂₁ t₂₂ t₂₃ ... t_2n ...

...

t_m = 0. t_m1 t_m2 t_m3 ... t_mn ...

...

其中所有的tij都是0～9這十個數字中的某一個。

但是我們可以構造一個小數a=0. a₁ a₂ a₃ ... a_k ...，任意的a_i也都是0～9這十個數字中的某一個，但我們讓每個a_i都不等於上述實數列中的t_ii，也就是讓第i位的數字跟數列中第i行第i個數字不同。這是可行的，因為我們用的是十進制小數，還剩下9個不同數字可供選擇呢。

當我們構造好了這樣的一個小數之後，我們發現它實際上跟上述小數列中的任何一個都不相等。這就造成了邏輯上的矛盾，你説已經把所有小數都列出來了，但是我卻發現至少我構造的這個小數，你還沒有羅列出來。就算你亡羊補牢，把我這個也補充進去，但是我還是可以根據同樣規則又構造出另一個。所以，只能説明實數是無法跟可數集形成一一對應的，也就是前面的假設是錯誤的。

因此[0, 1]區間的實數不是可數集。同樣，取掉0，1兩個數之後的(0,1)區間的實數也不是可數集。 ^[3]