真子集

一般地，對於兩個集合A、B，如果集合A中任意一個元素都是集合B中的元素，我們就説這兩個集合有包含關係，稱集合A為集合B的子集（subset）。記作A⊆B（或B⊇A），讀作“A包含於B”（或“B包含A”）。 ^[1] 

即，對於集合A與B，∀x∈A有x∈B，則A⊆B。 ^[1]  可知任一集合A是自身的子集，空集是任一集合的子集。 ^{[2]  [3]} 

如果集合A⊆B，存在元素x∈B，且元素x不屬於集合A，我們稱集合A與集合B有真包含關係，集合A是集合B的真子集（proper subset）。記作A⫋B（或B⫌A），讀作“A真包含於B”（或“B真包含A”）。

即：對於集合A與B，∀x∈A有x∈B，且∃x∈B且x∉A，則A⫋B。空集是任何非空集合的真子集。

非空真子集：如果集合A⫋B，且集合A≠∅，集合A是集合B的非空真子集（nonvoid proper subset）。 ^[2] 

命題1：若集合A有n個元素，則集合A的子集個數為2ⁿ，且有2ⁿ-1個真子集，2ⁿ-2個非空真子集。 ^[1] 

證明：設元素編號為1, 2, ... n，每個子集對應一個長度為n的二進制數（規定數的第 i 位為1表示元素i在集合中，0表示元素i 不在集合中。如全集U={e₁, e₂, e₃, e₄, e₅}，則{e₁,e₂,e₃,e₄,e₅} ↔ 11111，{e₂,e₃,e₄} ↔ 01110，{e₄} ↔ 00010）。即其子集為00...0（n個0） ~ 11...1（n個1）。易知一共有2ⁿ個數，因此對應2ⁿ個子集。去掉11...1（即表示原來的集合A）則有2ⁿ-1個真子集，再去掉00...0（表示空集）則有2ⁿ-2個非空真子集。 ^[4] 

命題2：空集是任意集合的子集。

證明：給定任意集合A，要證明∅是A 的子集。這要求給出所有∅的元素是A 的元素；但是，∅沒有元素。

對有經驗的數學家們來説，推論 “∅沒有元素，所以∅的所有元素是A 的元素”是顯然的；但對初學者來説，有些麻煩。 換一種思維將有所幫助，為了證明∅不是A 的子集，必須找到一個元素，屬於∅，但不屬於A。因為∅沒有元素，所以這是不可能的。因此∅一定是A 的子集。

這個命題説明：包含是一種偏序關係。 ^[4] 

命題3：若 A，B，C是集合，則：

自反性: A⊆A，反對稱性: A⊆ B且 B⊆ A，當且僅當A= B，傳遞性: 若 A⊆ B且 B⊆ C則 A⊆ C。這個命題説明：對任意集合 S，S的冪集按包含排序是一個有界格，與上述命題相結合，則它是一個布爾代數。

命題4：若 A，B，C是集合 S的子集，則： ^[4] 

存在一個最小元和一個最大元： ∅ ⊆ A⊆ S（ ∅⊆A由命題2給出）。存在並運算: A⊆ A∪B若 A⊆ C且 B⊆ C則 A∪B⊆ C存在交運算: A∩B⊆ A若 C⊆ A且 C⊆ B則 C⊆ A∩B。這個命題説明：表述 "A⊆ B" 和其他使用並集，交集和補集的表述是等價的，即包含關係在公理體系中是多餘的。 ^[3] 

命題5: 對任意兩個集合 A和 B，下列表述等價：A⊆ B A∩ B= A A∪ B= B A− B=∅ B′ ⊆ A′。 ^[2] 

集合思想起源很早，但是集合論作為一門學科是19世紀末、20世紀初才開始發展起來的，為奠定科學集合論做出重要貢獻的是著名數學家康托爾（G.Cantor，1845-1918）。他的思想曾在數學界引起很大的爭議，在集合論的大論戰中，有些數學家創造了集合中使用的有關符號。其中“∈”、“⊂”、“⊆ ”、符號是意大利數學家皮亞諾（G.Peano,1858-1932）首先使用的。他用“∈”表示屬於關係，如a是集合A的元素，他記為a∈A如B⊂A表示集合B真包含於A或B是A的真子集。至於a不屬於A的元素記號，a∉A則是後來人延伸創用的。 ^[5]