非負整數集

全體非負整數的集合通常稱非負整數集（或自然數集）。非負整數集包含0、1、2、3等自然數。數學上用黑體大寫字母"N"表示非負整數集。非負整數包括正整數和零。非負整數集是一個可列集。

1、在非負整數集中，有一個最小的自然數0；在N中除去零之後，其餘的自然數構成的數集稱為正整數集，常用符號N₊或N^*表示，1在N₊中是最小的元素；在N和N₊中都沒有最大的自然數；它們都是無限集。

2、自然數1通常稱為單位。

3、在N和N₊中，任取一數在它上面加單位1，所得的數稱為該數的後繼數，從最小元素開始逐個加1，這樣無限地進行下去，就可得到該數集中所有其他元素，最小元素不是任何元素的後繼數。

4、1可整除任何自然數，其商仍為原自然數，所以1是任何自然數的約數。

5、0加任何自然數，其和仍是原來那個自然數，1乘任何自然數，其積仍是原來那個自然數，所以自然數都是1的倍數。

6、1既不是質數，也不是合數。

7、如果0具有性質P，則任何具有性質P的自然數的後繼數都具有性質P。

8、在非負整數集中的數，可以按順序一個一個地數下去，所以自然數集是可數集。

9、在非負整數集中的任意兩個元素都可以比較大小，所以自然數集是有序集。

10、在非負整數集中，加法與乘法兩種運算，總可以實施，即非負整數的和與積仍是非負整數。

11、在非負整數集中的加法、乘法運算滿足交換律、結合律和乘法對加法的分配律。

12、在非負整數集中的加法、乘法運算滿足消去律。

13、非負整數集的任一非空子集必存在一個最小的非負整數，此結論稱為最小數原理。 ^[1] 

自然數（natural number），是非負（課本中未將0列為自然數）/正整數（1, 2, 3, 4……）。認為自然數不包含零的其中一個理由是因為人們在開始學習數字的時候是由“一、二、三...”開始，而不是由“零、一、二、三...”開始，因為這樣是非常不自然的。

自然數通常有兩個作用：可以被用來計數（如“有七個蘋果”），參閲基數；也可用於排序（如“這是國內第三大城市”），參閲序數。

自然數組成的集合是一個可數的，無上界的無窮集合。數學家一般以N來表示它。（以N*表示除0之外的自然數）自然數集上有加法和乘法運算，兩個自然數相加或相乘的結果仍為自然數。也可以作減法或除法，但相減和相除的結果未必都是自然數，所以減法和除法運算在自然數集中並不是總能成立的。

自然數是人們認識的數系中最基本的一類。為了使數的系統有嚴密的邏輯基礎，19世紀的數學家建立了關於自然數的兩種理論：自然數的序數理論和基數理論，使自然數的概念、運算和有關性質得到嚴格的論述。自然數的加法、乘法運算可以在序數或基數理論中給出定義，並且兩種理論下的運算是一致的。

在全球範圍內，針對0是否屬於自然數的爭論依舊存在。在中國大陸，2000年左右之前的中小學教材一般不將0列入自然數之內，或稱其屬於“擴大的自然數列”。在2000年左右之後的新版中小學教材中，普遍將0列入自然數。

和非負整數集等勢的集合有：

1、由自然數的有限序列組成的集合

2、整數集

3、有理數集

4、代數數集

5、可數個可數集合的並集

非負整數集的勢嚴格小於實數集的勢，即兩者間不能建立一一對應（詳見對角論證法）。事實上，實數集的勢是2^N0，即自然數集的冪集的勢。