實數集

18世紀，微積分學在實數的基礎上發展起來。但當時的實數集並沒有精確的定義。直到1871年，德國數學家康托爾第一次提出了實數的嚴格定義。定義是由四組公理為基礎的：

1.1.對於任意屬於集合R的元素a、b，可以定義它們的加法a+b，且a+b屬於R；

1.2.加法有恆元0，且a+0=0+a=a（從而存在相反數）；

1.3.加法有交換律，a+b=b+a；

1.4.加法有結合律，(a+b)+c=a+(b+c)。

2.1對於任意屬於集合R的元素a、b，可以定義它們的乘法a·b，且a·b屬於R；

2.2乘法有恆元1，且a·1=1·a=a（從而除0外存在倒數）；

2.3乘法有交換律，a·b=b·a；

2.4乘法有結合律，(a·b)·c=a·(b·c)；

2.5乘法對加法有分配律，即a·(b+c)=(b+c)·a=a·b+a·c。

3.1∀x、y∈R，x<y、x=y、x>y中有且只有一個成立；

3.2若x<y，∀z∈R，x+z<y+z；

3.3若x<y，z>0，則x·z<y·z；

3.4傳遞性：若x<y，y<z，則x<z。

(1)任何一個非空有上界的集合（包含於R）必有上確界。

(2)設A、B是兩個包含於R的集合，且對任何x屬於A，y屬於B，都有x<y，那麼必存在c屬於R，使得對任何x屬於A，y屬於B，都有x<c<y。

符合以上四組公理的任何一個集合都叫做實數集，實數集的元素稱為實數。