加法

加法（通常用加號“+”表示）是算術的四個基本操作之一，其餘的是減法、乘法和除法。 例如，在下面的圖片中，共有三個蘋果和兩個蘋果的組合，共計五個蘋果。 該觀察結果等同於數學表達式“3 + 2 = 5”，即“3加2等於5”。

除了計算水果，也可以計算其他物理對象。 使用系統泛化，也可以在更抽象的數量上定義加法，例如整數，有理數，實數和複數以及其他抽象對象，如向量和矩陣。

在算術中，已經設計了涉及分數和負數的加法規則。

加法有幾個重要的屬性。 它是可交換的，這意味着順序並不重要，它又是相互關聯的，這意味着當添加兩個以上的數字時，執行加法的順序並不重要。 重複加1與計數相同； 加0不改變結果。 加法還遵循相關操作（如減法和乘法）。

加法是最簡單的數字任務之一。 最基本的加法：1 + 1，可以由五個月的嬰兒，甚至其他動物物種進行計算。 在小學教育中，學生被教導在十進制系統中進行數字的疊加計算，從一位的數字開始，逐步解決更難的數字計算。

加法用術語之間的加號“+”編寫；結果用等號表示。 例如 ^[1]  ，

還有一些情況，即使沒有符號出現，

一個數字緊隨其後的一個分數表示混合數。例如，

這個符號可能會引起爭議，因為在大多數其他語境中，兩個數字放在一起表示乘法。

一系列相關數字的總和可以通過σ符號表示，表示迭代。 例如，

在一般加法中的數字被統稱為加數，結果稱為總和；加法就是把這麼多的加數都轉移到總和中去。這與要倍增的因素區分開來。 事實上，在文藝復興時期，很多作者根本沒有考慮到第一個加號。 今天，由於加成的交換財產，“加農”很少使用，而這兩個術語通常稱為加數。

所有上述術語來自拉丁語。 “添加”和“添加”是從拉丁語動詞addere得出的英文單詞，反過來又是“原” - 歐洲根* deh3“給”的“ad”和“; 因此補充是給予。使用gerundive後綴-nd導致“addend”，“要添加的東西”。同樣地，從“增加”來看，一個是“加強”，“增加的東西”。

“Sum”和“summand”來自拉丁語名詞“最高，最高”和相關詞彙。 因為古希臘和羅馬人常常向上增加的趨勢，這與現代的下降做法相反，使得一個數字高於加數。加號“+”（Unicode：U + 002B; ASCII：+）是拉丁語“et”的縮寫，意為“和”。它出現在可追溯到至少1489年的數學作品中。

加法已經被用於建立了無數的物理過程。 即使添加自然數的簡單情況，也有許多可能的解釋和更多的視覺表現。

組合

可能最基本的加法解釋在於組合：

當兩個或多個不相交的集合被組合成單個集合時，單個集合中的對象數量是原始集合中對象數量的總和。

這種解釋很容易可視化。 它也適用於高等數學；對於它激發的嚴格定義，請參見下面的自然數字。

一個可能的解決方案是考慮可以容易地分割的對象的集合，例如餡餅。杆不僅可以組成棒的集合，還可以將杆連接在一起，這又説明了加法的另一個概念：不添加棒，而是添加杆的長度。

延長一段長度

對加法的第二個解釋來自於將初始長度延長給定長度：

當原始長度延長給定量時，最終長度是原始長度和延伸長度之和。

一般來説，在一個集合F上定義一個二元關係“+”，滿足：

Ⅰ 交換律：對任意的 a ,b ∈ F ，a + b = b + a ∈ F；

Ⅱ 結合律：對任意的a,b，c∈F，a + (b +c) = (a +b) +c；

Ⅲ 單位元：存在一個元素 0 ∈ F ，滿足對任意的 a ∈ F ，a + 0 = 0 + a = a；

Ⅳ 逆元：對任意的 a ∈F ，存在一個元素 -a∈ F ，滿足a + (-a) = 0。

“+”稱作定義在集合F上的加法。

“+”是加號，加號前面和後面的數是加數，“=”是等於號，等於號後面的數是和。

100（加數） +（加號） 300（加數） =（等於號） 400（和）

加法交換律

a+b=b+a

例：8+1=1+8=9 100+2=2+100=102

:a+b+c=a+(b+c)

例：7+4+1=7+（4+1）=（7+4）+1=12 10-5+2=（10+2）-5=7

相關運算法則

同號兩數相加，取與加數相同的符號，並把絕對值相加。

異號兩數相加，取絕對值最大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值。

任何數加0仍得原數。

，(其中i=

，為虛數單位)

是完全一致的事物也就是同類事物的重複或累計，是數字運算的開始，不同類比如一個蘋果+一個橘子其結果只能等於二個水果就存在分類與歸類的關係。減法是加法的逆運算；乘法是加法的特殊形式；除法是乘法的逆運算；乘方是乘法的簡便形式；開方是乘方的逆運算；對數是在乘方的各項中尋找規律；由對數而發展出導數；然後是微分和積分。數字運算的發展，是更特殊的情況，更高度重複下的規律。 ^[2] 

有許多二進制操作可以被視為對實數的加法運算的概括。 抽象代數領域集中關注這種廣義的運算，它們也出現在集合理論和類別理論中。

抽象代數中的加法

矢量加法：

在線性代數中，向量空間是一個代數結構，允許添加任何兩個向量和縮放向量。 一個熟悉的向量空間是所有有序的實數對的集合；有序對（a，b）被解釋為從歐幾里德平面中的原點到平面中的點（a，b）的向量。 通過添加它們各自的座標來獲得兩個向量的和：

這種加法是經典力學的核心，其中向量被解釋為力。

矩陣加法:

為相同大小的兩個矩陣定義矩陣加法。 由A + B表示的兩個m×n（發音為“m乘n”）的矩陣A和B的和是通過相加元素而計算的矩陣，例如：

集合理論和類別理論中的加法

增加自然數的方法是在集合理論中添加序數和基數。這些給出了兩個不同的概括，即自然數。與大多數加法操作不同，序數的加法是不可交換的。 然而，增加基數是與不相交聯合操作密切相關的交換操作。

在類別理論中，不相交加法被視為特殊情況，一般可能是所有加法概括中最為抽象的。 如直接總和和楔子總和，被命名為添加的聯繫。 ^[3]