對數

如果

，即a的x次方等於N（a>0，且a≠1），那麼數x叫做以a為底N的對數（logarithm），記作

。其中，a叫做對數的底數，N叫做真數，x叫做“以a為底N的對數”。

事實上，當

，

，則有e^(2k+1)πi+1=0，所以ln(-1)的具有周期性的多個值，ln(-1)=(2k+1)πi。這樣，任意一個負數的自然對數都具有周期性的多個值。例如：ln(-5)=(2k+1)πi+ln 5。 ^[4] 

對數在數學內外有許多應用。這些事件中的一些與尺度不變性的概念有關。例如，鸚鵡螺的殼的每個室是下一個的大致副本，由常數因子縮放。這引起了對數螺旋。Benford關於領先數字分配的定律也可以通過尺度不變性來解釋。對數也與自相似性相關。例如，對數算法出現在算法分析中，通過將算法分解為兩個類似的較小問題並修補其解決方案來解決問題。自相似幾何形狀的尺寸，即其部分類似於整體圖像的形狀也基於對數。對數刻度對於量化與其絕對差異相反的值的相對變化是有用的。此外，由於對數函數log(x)對於大的x而言增長非常緩慢，所以使用對數標度來壓縮大規模科學數據。對數也出現在許多科學公式中，例如Tsiolkovsky火箭方程，Fenske方程或能斯特方程。 ^[5] 

16、17世紀之交，隨着天文、航海、工程、貿易以及軍事的發展，改進數字計算方法成了當務之急。約翰·納皮爾（J. Napier，1550~1617）正是在研究天文學的過程中，為了簡化其中的計算而發明了對數.對數的發明是數學史上的重大事件，天文學界更是以近乎狂喜的心情迎接這一發明。恩格斯曾經把對數的發明和解析幾何的創始、微積分的建立稱為17世紀數學的三大成就，伽利略也説過：“給我空間、時間及對數，我就可以創造一個宇宙。”

對數發明之前，人們對三角運算中將三角函數的積化為三角函數的和或差的方法已很熟悉，而且德國數學家斯蒂弗爾（M. Stifel，約1487~1567）在《綜合算術》（1544年）中闡述了一種如下所示的一種對應關係：

該關係可被歸納為

，同時該種關係之間存在的運算性質（即上面一行數字的乘、除、乘方、開方對應於下面一行數字的加、減、乘、除）也已廣為人知。經過對運算體系的多年研究，納皮爾在1614年出版了《奇妙的對數定律説明書》，書中藉助運動學，用幾何術語闡述了對數方法。

將對數加以改造使之廣泛流傳的是納皮爾的朋友布里格斯（H. Briggs，1561~1631），他通過研究《奇妙的對數定律説明書》，感到其中的對數用起來很不方便，於是與納皮爾商定，使1的對數為0，10的對數為1，這樣就得到了以10為底的常用對數。由於所用的數系是十進制，因此它在數值上計算具有優越性。1624年，布里格斯出版了《對數算術》，公佈了以10為底包含1~20000及90000~100000的14位常用對數表。

根據對數運算原理，人們還發明瞭對數計算尺。300多年來，對數計算尺一直是科學工作者，特別是工程技術人員必備的計算工具，直到20世紀70年代才讓位給電子計算器。儘管作為一種計算工具，對數計算尺、對數表都不再重要了，但是，對數的思想方法卻仍然具有生命力。

從對數的發明過程中，納皮爾在討論對數概念時，並沒有使用指數與對數的互逆關係，造成這種狀況的主要原因是當時還沒有明確的指數概念，就連指數符號也是在20多年後的1637年才由法國數學家笛卡兒（R. Descartes，1596~1650）開始使用。直到18世紀，才由瑞士數學家歐拉發現了指數與對數的互逆關係。在1770年出版的一部著作中，歐拉首先使用來定義

，他指出：“對數源於指數”。對數的發明先於指數，成為數學史上的珍聞。

從對數的發明過程可以看到，社會生產、科學技術的需要是數學發展的主要動力。建立對數與指數之間的聯繫的過程表明，使用較好的符號體系對於數學的發展是至關重要的。實際上，好的數學符號能夠大大地節省人的思維負擔。數學家們對數學符號體系的發展與完善作出了長期而艱苦的努力 ^[2]  。

以a為底N的對數記作

。對數符號log出自拉丁文logarithm，最早由意大利數學家卡瓦列裏（Cavalieri）所使用。20世紀初，形成了對數的現代表示。為了使用方便，人們逐漸把以10為底的常用對數及以無理數e為底的自然對數分別記作lgN和lnN。

函數

叫做對數函數（logarithmic function），其中x是自變量。x的定義域是

。

1. 過定點

，即x=1時，y=0。

2. 當

時，在

上是減函數；當

時，在

上是增函數。