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雙射
鎖定
雙射簡介
設f是從集合A到集合B的映射,若f(A)=B,即B中任一元素b都是A中某元素的像,則稱f為A到B上的滿射;
若對A中任意兩個不同元素a1不等於a2,它們的像f1不等於f2,則稱f為A到B的單射;
若映射f既是單射,又是滿射,則稱映射f為A到B的“雙射”(或“一一映射”)。 函數為雙射當且僅當每個可能的像有且僅有一個變量與之對應。
函數f: A → B為雙射當且僅當對任意b∈B存在唯一a∈A滿足f(a) = b。
同一集合上的雙射構成一個對稱羣。
雙射定義
在集合論中,一個由集合X至集合Y的映射稱為雙射的,若對集合Y內的任意元素y,存在唯一一個集合X內的元素x,使得 y = f(x)。
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換句話説,f為雙射的若其為兩集合間的一對一對應,亦即同時單射且滿射。
例如,由整數集合至的函數succ,其將每一個整數x連結至整數succ(x)=x+1,及另一函數sumdif,其將每一對實數(x,y)連結至sumdif(x,y) = (x + y, x − y)。
一雙射函數亦稱為置換。後者一般較常使用在X=Y時。以由X至Y的所有雙射組成的集合標記為XY.
雙射舉例
假設存在關於x的函數:y=2x+3,對於任何x∈R及y∈R,由於y是x的線性函數,因此對於任何x都有唯一確定的y與其對應。又通過整理可以得到x=(y-3)/2,因此對於任何y,也有唯一確定的x與其對應。這樣,在y=2x+3在x∈R、y∈R的域中就是一個雙射函數。
而對於函數y=x2+2,對於x∈R、y∈R的取值範圍內,對於任何x,都有唯一確定的y與其對應。但對於
y≠2,任何y都對應2個不同的x。這樣y=x^+2在x∈R、y∈R的取值範圍內,不是雙射函數。但對於x∈[0,+∞)、y∈[2,+∞)。對於任何x,都有唯一確定的y與之對應,而對於任何y,都有x=(y-2)^0.5,即唯一確定的x與之對應。因此它是一個雙射函數。
雙射應用
雙射的原理是一組關係,在判別某一種想法在應用能否雙向的找到某一唯一對應的事物,理論上通常要判斷這種想法是否滿足雙射的關係。因為具體的實施這一想法的途徑我們是並不知道的,所以需要抽象出他們的關係,找到這個雙射,如果找不到,並且驗證這個雙射不存在,那麼想法是不可能實現的。
雙射性質
(1)一由實數R至R的函數f是雙射的當且僅當其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
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(2)設X為一集合,則由X至其本身的雙射函數,加上其複合函數(0)的運算,會形成一個羣,一個X的對稱羣,其標記為S(X)、SX或X!。
(4)若X和Y為具相同勢的有限集合,且f: X → Y,則下列三種説法是等價的:
f 為一雙射函數;
f 為一滿射函數;
f 為一單射函數。