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單射
鎖定
設f是由集合A到集合B的映射,如果所有x,y∈A,且x≠y,都有f(x)≠f(y),則稱f為由A到B的單射。
[1]
另一種説法為,f為單射,當f(a) = f(b),則a = b(若a≠b,則f(a)≠f(b)),其中a、b屬於定義域。
單射在某些書中也叫入射,可理解成“原不同則像不同”。
- 中文名
- 單射
- 外文名
- injective
- 相關術語
- 單射函數
- 別 名
- 入射
- 定 義
- 當f(a) = f(b),則a = b
- 應用學科
- 數學
單射例子反例
對任一集合X,X上的恆等函數為單射的。
[2]
函數f : R → R,其定義為f(x) = 2x + 1,是單射的。
自然對數函數ln:(0,+∞) → R:x → ln x是單射的。
更一般地説,當X和Y都是實數線 R',則單射函數f : R → R為一絕不會與任一水平線相交超過一點的圖。
單射可逆函數
另一單射函數的定義為其作用可取消的函數。更精確地説,f : X → Y為單射,若存在一函數g : Y → X,使得對所有X內的x,g(f(x)) = x,亦即g o f 等同於X上的恆等函數。
注意,g不一定是一f的完全反函數,因為其他順序的複合f o g不一定是在X上的恆等函數。
事實上,將一單射函數f : X → Y變成一雙射函數,只需要將其陪域Y替換成其值域J = f(X)就行了。亦即,令g : X → J,使其對所以X內的x,g(x) = f(x);如此g便為單射的了。確實,f可以分解成inclJ,Yog,其中inclJ,Y來由J至Y的內含映射。
單射其他性質
若f和g皆為單射的,則f o g亦為單射的。
若g o f為單射的,則f為單射的(但g不必然要是)。
f : X → Y是單射的當且僅當給定兩函數g、h : W → X會使得f o g = f o h時,則g = h。
若f : X → Y為單射的且A為X的子集,則f −1(f(A)) = A。所以,A可以從其值域f(A)找回。
若f : X → Y是單射的且A和B皆為X的子集,則f(A ∩ B) = f(A) ∩ f(B)。
若 f : X → Y 是單射,則在基數的意義下 Y 的元素數量不少於 X。
若 X 與 Y 皆為有限集,則 f : X → Y 是單射當且僅當它是滿射。
內含映射總是單射。