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雙射
鎖定
雙射簡介
設f是從集合A到集合B的映射，若f(A)=B，即B中任一元素b都是A中某元素的像，則稱f為A到B上的滿射；
若對A中任意兩個不同元素a1不等於a2，它們的像f1不等於f2，則稱f為A到B的單射；
若映射f既是單射，又是滿射，則稱映射f為A到B的“雙射”(或“一一映射”)。 函數為雙射當且僅當每個可能的像有且僅有一個變量與之對應。
函數f: A → B為雙射當且僅當對任意b∈B存在唯一a∈A滿足f(a) = b。
同一集合上的雙射構成一個對稱羣。
雙射定義
在集合論中，一個由集合X至集合Y的映射稱為雙射的，若對集合Y內的任意元素y，存在唯一一個集合X內的元素x，使得 y = f(x)。
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換句話説，f為雙射的若其為兩集合間的一對一對應，亦即同時單射且滿射。
例如，由整數集合至的函數succ，其將每一個整數x連結至整數succ(x)=x+1，及另一函數sumdif，其將每一對實數(x,y)連結至sumdif(x,y) = (x + y, x − y)。
一雙射函數亦稱為置換。後者一般較常使用在X=Y時。以由X至Y的所有雙射組成的集合標記為XY.
雙射舉例
假設存在關於x的函數:y=2x+3，對於任何x∈R及y∈R，由於y是x的線性函數，因此對於任何x都有唯一確定的y與其對應。又通過整理可以得到x=(y-3)/2，因此對於任何y，也有唯一確定的x與其對應。這樣，在y=2x+3在x∈R、y∈R的域中就是一個雙射函數。
而對於函數y=x2+2，對於x∈R、y∈R的取值範圍內，對於任何x，都有唯一確定的y與其對應。但對於
y≠2，任何y都對應2個不同的x。這樣y=x^+2在x∈R、y∈R的取值範圍內，不是雙射函數。但對於x∈[0,+∞）、y∈[2,+∞)。對於任何x，都有唯一確定的y與之對應，而對於任何y，都有x=(y-2)^0.5，即唯一確定的x與之對應。因此它是一個雙射函數。
雙射應用
雙射的原理是一組關係，在判別某一種想法在應用能否雙向的找到某一唯一對應的事物，理論上通常要判斷這種想法是否滿足雙射的關係。因為具體的實施這一想法的途徑我們是並不知道的，所以需要抽象出他們的關係，找到這個雙射，如果找不到，並且驗證這個雙射不存在，那麼想法是不可能實現的。
雙射性質
（1）一由實數R至R的函數f是雙射的當且僅當其圖像和任一水平線相交且只相交於一點。
[3]
（2）設X為一集合，則由X至其本身的雙射函數，加上其複合函數(0)的運算，會形成一個羣，一個X的對稱羣，其標記為S(X)、SX或X!。
（4）若X和Y為具相同勢的有限集合，且f: X → Y，則下列三種説法是等價的：
f 為一雙射函數；
f 為一滿射函數；
f 為一單射函數。
