無限集合

直觀地講，有限集（也叫有限集合）是包含有限個元素的集合。為了更好地理解有限集合，我們給出有限集的正式定義。

定義1 一個集合S與集合

(定義

) ^[1]  之間如果存在一一對應函數

，則稱S是有限的。否則，則稱S是無限的 ^[1]  。

例1 下列集合均為有限集：

(1)集合

，該集合可以與集合

^[1]  建立起一一對應的函數關係。

(2)

，該集合可以與集合

之間建立起一一對應的函數關係。

(3)

={1月，2月，3月，…，12月}，該集合可以與集合

之間建立起一一對應的函數關係。

(4)

={星期一，星期二，…，星期日），該集合可以與集合

之間建立起一一對應的函數關係。

定義2 有限集S的元素的個數稱為S的基數，記為

。

上述，

的基數為26，

的基數為12，

的基數為7。

我們知道，集合之間可以進行各種運算，那麼運算後集合的基數該如何給出呢？

定理1設A和B是兩個有限集合，則有

我們可以通過如圖1所示的維恩圖來理解該定理。由圖我們可以看出，

（圖1中

部分）的個數計算了兩次，所以要減去一個

。

基於定理1我們可以得到

(1)當A和B分離時：

；

(2)

當我們面對“無窮”問題時，首先要提醒讀者建立以下幾個基本觀點：

1)有限到無限是從量變到質變；

2)有限集的性質不能推廣到無限，反之亦然；

3)要依靠理性的論證，而不是直觀和常識來認識無限。

判斷兩個有限集合中元素的“多少”，其實仍然是採用“數數”的方法。“數數”的過程其實就是建立“一一對應”的映射的過程。例如：給定集合

，計算S中元素數目其實就是建立如圖2所示對應關係的過程。

這種方法可以進一步推廣到無限集合。為此我們首先給出“勢”的概念。

定義3 集合的勢是一個用來度量集合所含元素多少的量。對於兩個集合A和B，如果存在從A到B的雙射，就稱A和B是等勢(equipotent)的，記為A～B。集合的勢越大，所含的元素越多。

當A=B時，一定有A～B。我們很快就會看到，反之不一定成立 ^[1]  。

定義4 凡是與自然數集等勢的集合稱為可數集（可列集）。

也可以將有限集合與可列集合稱為可數集，故可列集也可稱為可數無限（無窮）集合。A為可數無窮集合，當且僅當A可排列為

，即可以對它的元素進行編號，也就是建立起該集合與自然數集的一一對應的關係。

定理2 任意無窮集合，必含有可數子集。

證明： 設A為一無窮集合，從A中取出一個元素，命名為

，由於A是無窮集合，從

中可以取出元素

，而

也是非空集合，所以又可取元素

。

由於A是無窮集合，所以可以一直取下去，從而得到A的可數子集。

定理3 整數集合Z是可數無窮集。

定理4 正偶數集合

與自然數集合N等勢。

定理5 平面上座標為整數的點的集合

與自然數集等勢。

定義如圖3所示的排列規則，可以將

中的點逐一列出，從而表明

與自然數集等勢。

定理6 有理數集Q與N等勢。

以下是判斷一個集合是可數集合的一些結論。

●按照可數集合的定義，若A為有限集，則A一定是可數集合，否則若A與自然數集之間存在一個一一對應的映射，則A為可數集合。

●若A與某可數集合之間存在一一對應的映射，則A為可數集合。

●若A中所有元素可按某種規律進行排序，則A是可數集合。

●若A是n(>1)個可數集合的並集，則A是可數集合。

●若A是某個已知是可數集合的子集，則A是可數集合。

●若A是可數無窮多個可數集合的並集，則A是可數集合。

●若A是n(>1)個可數集合的笛卡兒乘積，則A是可數集合 ^[1]  。

現在我們已經知道自然數集、偶數集、整數集、有理數集均是無窮可數集，那麼實數集合是不是可數集呢？康託在研究集合時得到的一個重要結論就是：實數集不可數。這是康託的偉大發現。

定理7 實數區間(0，1)是不可數的。

我們將自然數集的基數命名為

，即

，

是最小的無窮基數。實數集的基數命名為

，即

，

>

。顯然可數集A的基數：cardA≤

。接下來：無窮集合的基數有多少個?

為了回答上述問題，我們需要先了解以下康託基本定理。該定理是康託在1883年證明的。

定理8 (康託基本定理)集合A的元素不能與2^A建立一一對應的映射。

有了這個結論，我們就可以構造基數為任意大的集合，如

。所有集合的基數從小到大可排列為：

現在的問題是：是否存在集合S，使得

。即能否找到一實數集的子集，它是不可數集合，但又不能與實數集合建立一一對應的映射關係。這就是康託提出的“連續統假設”。

1900年，第二屆國際數學大會在巴黎召開，20世紀國際數學界的頭號巨人、德國數學家希爾伯特提出了23個基本問題，幾乎指導了一個世紀，而現在只解決了一半。第一個問題就是如何證明集合論中的連續統假設。

連續統假設是數學中最基本的問題，近百年來一直是數理邏輯的中心問題之一，也是集合論最難的問題之一。經過許多著名數學家的不懈努力，已取得了重大進展：1930年，數學家

證明連續統假設與選擇公理是相容的，從而證明了連續統假設不成立是不可能的。1963年，美國數學家Cohen證明了選擇公理與連續統假設是相互獨立的，從而得出證明連續統假設成立是不可能的。由此得到，在我們所使用的公理系統中，連續統假設是不能判定的。