廣義連續統假設

廣義連續統假設是連續統假設對每一個無限集合的推廣：如果 X 是一個無限集合，

，而且 A 和P（X）不等勢，那麼必有 A 的勢小於等於 X 的勢，即

。 ^[1] 

廣義連續統假設是指： 若一個無限集A的基數在另一個無限集S與其冪集2^S之間，則A的基數必定與或其冪集2^S相同。CH與GCH都獨立於ZFC，不過Sierpiński證明了ZF+GCH可以推導出選擇公理，換句話説，不存在ZF+GCH但AC不成立的公設系統。

任何的無限集合A和B，假如存在一個由A到B的單射，那就存在一個由A的子集到B的子集的單射。因此對於任何有限的序數A和B，

。

假如A和B是有限集合，那我們可以得到更強的不等式：

。

GCH意味着這個嚴格的不等式對無限序數和有限序數都成立。

1874年格奧爾格·康托爾猜測在可列集基數和實數基數之間沒有別的基數，這就是著名的連續統假設。它又被稱為希爾伯特第一問題，在1900年第二屆國際數學家大會上，大衞·希爾伯特把康托爾的連續統假設列入20世紀有待解決的23個重要數學問題之首。1938年哥德爾證明了連續統假設和世界公認的ZFC公理系統不矛盾。1963年美國數學家保羅·寇恩證明連續假設和ZFC公理系統是彼此獨立的。因此，連續統假設不能在ZFC公理系統內證明其正確性與否。