-
複合函數
鎖定
- 中文名
- 複合函數
- 外文名
- composite function
- 學 科
- 數學
- 類 別
- 函數
複合函數定義
如
等都是複合函數。
而
就不是複合函數，因為任何x都不能使y有意義。由此可見，不是任何兩個函數放在一起都能構成一個複合函數。
複合函數通俗地説就是函數套函數，是把幾個簡單的函數複合為一個較為複雜的函數。複合函數中不一定只含有兩個函數，有時可能有兩個以上，如y=f(u)，u=φ(v)，v=ψ(x)，則函數y=f{φ[ψ(x)]}是x的複合函數，u、v都是中間變量。
[2]
複合函數定義域
求函數的定義域主要應考慮以下幾點：
⑴當為整式或奇次根式時，R的值域；
⑵當為偶次根式時，被開方數不小於0（即≥0）；
⑶當為分式時，分母不為0；當分母是偶次根式時，被開方數大於0；
⑹分段函數的定義域是各段上自變量的取值集合的並集。
⑺由實際問題建立的函數，除了要考慮使解析式有意義外，還要考慮實際意義對自變量的要求
⑻對於含參數字母的函數，求定義域時一般要對字母的取值情況進行分類討論，並要注意函數的定義域為非空集合。
⑼對數函數的真數必須大於零，底數大於零且不等於1。
複合函數週期性
設y=f(u)的最小正週期為T1,u=φ(x)的最小正週期為T2,則y=f[φ（x）]的最小正週期為T1*T2，任一週期可表示為k*T1*T2(k屬於R+).
複合函數單調（增減）性
複合函數決定因素
依y=f(u)，u=φ(x)的單調性來決定。即“增+增=增；減+減=增；增+減=減；減+增=減”，可以簡化為“同增異減”。
複合函數基本步驟
判斷複合函數的單調性的步驟如下：
⑴求複合函數的定義域；
⑵將複合函數分解為若干個常見函數（一次、二次、冪、指、對函數）；
⑶判斷每個常見函數的單調性；
⑸求出複合函數的單調性。
複合函數例題
例如：討論函數y=
的單調性。
解：函數定義域為R；
令u=x2-4x+3,y=0.8u；
u=x2-4x+3在（-∞,2]上是減函數，在[2,+∞）上是增函數；
∴ 函數y=
在（-∞,2]上是增函數，在[2,+∞）上是減函數。
複合函數複合函數求導
複合函數規則
複合函數求導的前提：複合函數本身及所含函數都可導。
法則1：設u=g(x)，對f(u)求導得：f'(x)=f'(u)*g'(x)；
法則2：設u=g(x),a=p(u)，對f(a)求導得：f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)；
複合函數的導數
複合函數應用舉例
1、求：函數f(x)=(3x+2)3+3的導數。
解：設u=g(x)=3x+2；
f(u)=u3+3；
f'(u)=3u2=3(3x+2)2；
g'(x)=3；
f'(x)=f'(u)*g'(x)=3(3x+2)2*3=9(3x+2)2；
2、求f(x)=
的導數。
解：設u=g(x)=x-4,a=p(u)=u2+25
f(a)=
；
f'(a)=
=
；
p'(u)=2u=2(x-4)；
g'(x)=1；
f'(x)=f'(a)*p'(u)*g'(x)=
=
.
