函數定義域

設

，

為兩個非空實數集，如果按照某個確定的對應法則

，使得對於集合

中的任意一個數

，在集合

中都有且僅有一個確定的數

與之對應，那麼就稱

為定義在集合

上的一個函數，記做

。其中，

為自變量，

為因變量，

稱為對應關係，集合

稱為函數

的定義域，

為函數f的值域，對應關係、定義域、值域為函數的三要素。 ^[1] 

在一個函數關係中，自變量

的取值範圍

叫作函數的定義域。 ^[1] 

函數的定義域是根據函數要解決的問題來定義的，函數的定義域一般有三種定義方法：

（1）自然定義域，若函數的對應關係有解析表達式來表示，則使解析式有意義的自變量的取值範圍稱為自然定義域。例如函數

，要使函數解析式有意義，則

，因此函數的自然定義域為

；

（2）函數有具體應用的實際背景。例如，函數

表示速度與時間的關係，為使物理問題有意義，則時間

，因此函數的定義域為

；

（3）人為定義的定義域。例如，在研究某個函數時，僅考察函數的自變量

在[0,10]範圍內的一段函數關係，因此定義函數的定義域為[0,10]。 ^[1] 

由若干個基本函數通過四則運算形成的函數，其定義域為使得每一部分都有意義的公共部分。

原則：（1）分式的分母不能為零；（2）偶次方根的內部必須非負即大於等於零；（3）對數的真數為正，對數的底數大於零且不等於1；（4）

中，

。

若

，則

就叫做f和g的複合函數。其中

叫做外函數，

叫做內函數。

例如：（1）已知

的定義域

，求

的定義域

。

解法：解不等式：

（2）已知

的定義域

，求

的定義域

。

解法：令

，求函數

的值域。 ^[2]