函數解析式

函數解析式（Analytic expression），函數解析式與函數式相類似都是求出函數x與y的函數關係。在一次函數中就是求K值也就是它倆的關係。

常用函數的解析式:

一次函數y=kx+b

正比例函數（也是特殊的一次函數）y=kx

反比例函數y=k/x

二次函數y=a*x^2+b*x+c

注意：通俗地講，函數反映的是兩個變量直接的（變化）關係，嚴格地説，函數是兩個數集之間的一種對應關係（映射）。而“規律”首先是一個（真）“命題”，而“命題”，在邏輯學指表達判斷的語言形式，由系詞把主詞和賓詞聯繫而成。例如：‘北京是中國的首都’，這個句子就是一個命題。在現代哲學、邏輯學、語言學中，命題是指一個判斷（陳述）的語義（實際表達的概念），這個概念是可以被定義並觀察的現象。命題不是指判斷（陳述）本身。更進一步，“規律”是事物、現象和過程內在的、本質的必然的聯繫。定律(Laws) 研究宇宙間不變的事實規律所歸納出的結論，不同於理論、假設、定義、 定理，是對客觀事實的一種表達形式，通過大量具體的客觀事實經驗累積歸納而成的結論。與“函數”概念相去甚遠，不應混淆。

另外，函數的“表達式”最好不要籠統的稱為為“解析式”。因為很多函數並不解析（解析的概念在大學“複變函數”等課程中學習），為避免誤用，最好稱為“表達式”，這樣更為妥當。

主要有兩部分構成：1、表達式；2、自變量的表達範圍。例如：（1）y=2x-5(x＞0) (2)y=2x-5

解釋函數概念；函數就是根據運算規則，“算式中最少有兩個互相影響的數值”，這兩個數值稱為(變量)。其中一個是“自變量”（X），為什麼叫“自變量”呢？因為這個數值可控，我們通過改變它來改變另一個變量（Y），另一個變量（Y）由於是受這個自變量（X）改變而得到的，所以另一個變量(Y)稱為這個自變量(X)的函數（在初中舊版教材中稱Y為因變量）！為什麼叫“函數”？看這個詞的構成，“函”的意思是什麼？

“函是不相隸屬機關之間相互商洽工作、詢問和答覆問題”

這個解釋正好又能解釋到“映射”，“不相隸屬機關”就是指這兩個變量，它們兩個之間相互工作，相互影響。映射這個定義實際是很容易解釋的，由於講的是一次函數，就不講牽涉到的知識了。由“函”字的解釋來看已經可以看出“函數”這個詞足以代表這樣一類的關係式,能看出自變量和函數之間的微妙的關係，所以就叫做“函數”了!咱們不管歷史人物怎麼起名為“函數”，只看咱們怎麼理解為什麼叫做函數。（分析僅供參考） ^[1] 

y=kx （k≠0）

這個一次函數是最簡單情況(也稱正比例函數)，這個y=kx也就是關於“一個本子5毛錢，你買10個需要花多少錢。”這類問題的（常數K不能變，那肯定是本子價格，能變的是自變量X，也就是你要買的數量Y是最後掏的錢）。就是沒有任何基礎（在剛才這個問題中也就是説你在買本子前你需不需要付另外的錢，你總不會還沒買本子你就要付多餘的錢然後再付錢買本子吧？所以這個多餘的錢這個在你買完本子後付錢就沒有從那個基礎上再付你買本子的錢），從開始就按照這個規律來走（也就是這一個本子5毛錢，10個本子應該5元錢這個規律），你就只控制X這一個來直接影響Y值，也就是函數值。

那如果是y=kx+b （k≠0）

就是你在買房子時你就要多付一個基礎錢，實際按中介機構交易方式來比喻更容易理解，“好比你要買房子，你去找中介機構了，你得先給人家50元錢，這50元錢你給人家之後不管你最後到底買不買房子，你都得掏，不可要回，也就相當於你不買房了你也得給人家這個錢！這時你這個x也就是房子數量等於0也就是不買，你也得掏那50元中介費！

這個關係式是b=50的函數y=kx+b。

函數關係式其實就是這麼一回事，就是一個變量影響另一個變量這樣的關係，用未知數來代替現實生活中某些附加存在的數據和一些可控的數據最終造成的數據。有些數據可能變化規則詭異，但是都是有規律的（因為一切萬物都是按照規律進行的），再想想（分段函數），所以存在二次函數或者什麼的。

函數解析式與函數式相類似都是求出函數x與y的函數關係。

常用函數的解析式:

y=kx （k≠0）

y=kx+b （k≠0）

y=k/x （k≠0）

（反比例函數）

利用奇函數的性質考慮就可以了~

[解題過程]

首先，如果x<0，那麼就沒有x>0。

所以如果x<0，那麼就有-x>0，那麼根據“當x大於0時，k=x+b。

∴f(x)=-f(-x)=-[sin(-x)+(-x)tan(-x)-cos(-2x)]=sinx-xtanx+cos2x。

還要注意：奇函數滿足f(0)=0，所以f(x)的解析式為：

x＞0時，f(x)=sinx+xtanx-cos2x；

x=0時，f(x)=0；

x＜0時，f(x)=sinx-xtanx+cos2x。

例1：已知f(x+1)=x+2，求f(x)。

分析：函數的解析式y=f(x)是自變量x確定y值的關係式，其實質是對應法則f：x→y，因此解決這類問題的關鍵是弄清對“x”而言，“y”是怎樣的規律。

解：∵f(x+1)=x+2=（x+1）+1

令t=x+1，則f(t)=t+1，

∴f(x)=x+1。

小結：此種解法為配湊法，通過觀察、分析，將右端“x+2”變為接受對象“x+1”的表達式，即變為含（x+1）的表達式，這種解法對變形能力、觀察能力有一定的要求。

二、換元法

例2：已知f(1-cosx)=sin²x，求f(x)。

分析：視1-cosx為一個整體，應用數學的整體化思想，換元即得。

解：令t=1-cosx，0≤t≤2，則cosx=1-t，

f(t)=sin²x=1-cos²x=1-（1-t）²=1-1+2t-t²=-t²+2t。

故f(x)=-x²+2x，（0≤x≤2）。

小結：①已知f[g(x)]是關於x的函數，即f[g(x)]=F(x)，求f(x)的解析式，通常令g(x)=t，由此能解出x=(t)，將x=(t)代入f[g(x)]=F(x)中，求得f(t)的解析式，再用x替換t，便可得到f(x)的解析式。注意：換元后要確定新元t的取值範圍。

②換元法就是通過引入一個或幾個新的變量來替換原來的某些變量的解題方法，它的基本功能是：化難為易、化繁為簡，以快速實現未知向已知的轉換，從而達到順利解題的目的。常見的換元法是多種多樣的，如局部換元、整體換元、三角換元、分母換元等，它的應用極為廣泛。

三、待定係數法

例3：設二次函數f(x)滿足f(x+2)=f(2-x)，且f(x)=0的兩實根平方和為10，圖象過點（0，3），求f(x)的解析式。

分析：由於f(x)是二次函數，其解析式的基本結構已定，可用待定係數法處理。

解：設f(x)=ax²+bx+c（a≠0）

由f(x+2)=f(2-x)可知，該函數圖象關於直線x=2對稱

所以

，即b=-4a……①

又圖象過點（0，3），∴c=3……②

由方程f(x)=0的兩實根平方和為10，得

即

……③

由①②③解得a=1，b=-4，c=3

∴f(x)=x²-4x+3

小結：只要明確所求函數解析式的類型，便可設出其函數解析式，設法求出其係數即可得到結果。類似的已知f(x)為一次函數時，可設f(x)=ax+b（a≠0）；f(x)為反比例函數時，可設f(x)=k/x（k≠0）；f(x)為二次函數時，可根據條件設：①一般式：f(x)=ax²+bx+c（a≠0）；②頂點式：f(x)=a（x-h）²+k（a≠0）；③兩根式：f(x)=a（x-x₁）（x-x₂）（a≠0）。

四、消元法

例4：已知函數y=f(x)滿足

，其中a、b、c都是非零常數，a≠±b，求函數y=f(x)的解析式。

分析：由於難以判斷f(x)是何種類型的函數，故不可能先設出f(x)的表達式，但如果把條件中的x換成1/x，即

作為一個整體量，即可得到關於f(x)，f(1/x)的方程組。

解：用x換成條件中的1/x，得

，與原方程聯立得：

⑵×b-⑴×a得：

即

（x≠0）。 ^[2]