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反比例函數

反比例函數的圖像^[1] 屬於以原點為對稱中心的中心對稱的兩條曲線，反比例函數圖像中每一象限的每一條曲線會無限接近x軸y軸但不會與座標軸相交（y≠0）。

一般地，如果兩個變量x、y之間的關係可以表示成y=k/x（k為常數，k≠0）的形式，那麼稱y是x的反比例函數。因為y=k/x是一個分式，所以自變量x的取值範圍是x≠0。而y=k/x有時也被寫成xy=k或y=k·x^（-1）。表達式為：x是自變量，y是因變量，y是x的函數。

中文名: 反比例函數
外文名: inverse proportional function
公式: y=k/x，其中k∈(-∞,0)∪(0,+∞)
定義域: {x|x≠0}
值域: (-∞,0)∪(0,+∞)

k大於0時: 一、三象限
k小於0時: 二、四象限
應用範圍: 幾何、數學，計算機等
圖像對稱性: 軸對稱，中心對稱圖形
拼音: fǎn bǐ lì hán shù

反比例函數定義

k＞0時，圖像在一、三象限；k小於0時，圖像在二、四象限。k的絕對值表示的是x與y的座標形成的矩形的面積。

反比例函數表達式

x是自變量，y是因變量，y是x的函數

即：

（k為常數且k≠0，x≠0）^[1]

若此時比例係數^[1] 為：

自變量的取值範圍

合併圖冊(1張)

①在一般的情況下，自變量x的取值範圍可以是不等於0的任意實數。

②函數y的取值範圍也是任意非零實數。

解析式

其中x是自變量，y是x的函數，其定義域是不等於0的一切實數，

即{x|x≠0，x屬於R這個範圍。R是實數範圍。也就是x是實數}。

下面是一些常見的形式：

，y=x^(-1)*k（k為常數（k≠0），x不等於0）

因為在反比例函數的解析式y=k/x（k≠0）中，只有一個待定係數k，確定了k的值，也就確定了反比例函數的解析式。因而一般只要給出一組x或者y的值或圖像上任意一點的座標，然後代入y=k/x中即可求出k的值，進而確定反比例函數的解析式。

反比例函數函數圖象

當k＞0時，兩支曲線分別位於第一、三象限內；當k＜0時，兩支曲線分別位於第二、四象限內，兩個分支無限接近x和y軸，但永遠不會與x軸和y軸相交.

圖象畫法

（1）列表

X與Y的值的關係
x	...	-3	-2	-1	1	2	3	4	...
y	...	-4	-6	-12	12	6	4	3	...

（2）在平面直角座標系中標出點（一般標5個點，稱為5點作圖法）。

（3）用平滑的曲線連接點。

當k＞0時，在圖象所在的每一個象限內，y隨x的增大而減小。
當k＜0時，在圖象所在的每一個象限內，y隨x的增大而增大。

當兩個數相等時那麼曲線呈彎月型。

k的意義及應用

過反比例函數

（

）圖象上任意一點P（x，y），作兩座標軸的垂線，兩垂足、原點、P點組成一個矩形，矩形的面積為

。過反比例函數圖象一點，作任一座標軸的垂線，並連接原點，圍成的三角形的面積為

。

研究函數問題要透視函數的本質特徵。反比例函數中，比例係數k有一個很重要的幾何意義，那就是：過反比例函數圖象上任一點P作x軸、y軸的垂線PM、PN，垂足為M、N則矩形PMON的面積為

。

所以，對雙曲線上任意一點作x軸、y軸的垂線，它們與x軸、y軸所圍成的矩形面積為常數。這個常數是k的絕對值。在解有關反比例函數的問題時，若能靈活運用反比例函數中k的幾何意義，會給解題帶來很多方便。

反比例函數函數性質

反比例函數單調性

當k＞0時，圖象分別位於第一、三象限，每一個象限內，從左往右，y隨x的增大而減小；

當k＜0時，圖象分別位於第二、四象限，每一個象限內，從左往右，y隨x的增大而增大；

當k＞0時，函數在x＜0上為減函數、在x＞0上同為減函數；k＜0時，函數在x＜0上為增函數、在x＞0上同為增函數。

反比例函數相交性

合併圖冊(2張)

因為在

(k≠0)中，x不能為0，y也不能為0，所以反比例函數的圖象不可能與x軸相交，也不可能與y軸相交，只能無限接近x軸，y軸。

反比例函數面積

在一個反比例函數圖像上任取一點，過點分別作x軸，y軸的平行線，與座標軸圍成的矩形面積為|k|，

反比例函數上一點向x、y軸分別作垂線，分別交於x軸和y軸，則QOWM的面積為|k|，則連接該矩形的對角線即連接OM，則RT△OMQ的面積=½|k|。

反比例函數圖像表達

反比例函數圖象不與x軸和y軸相交的漸近線為：x軸與y軸。

k值相等的反比例函數圖象重合，k值不相等的反比例函數圖象永不相交。

|k|越大，反比例函數的圖象離座標軸的距離越遠。

反比例函數對稱性

反比例函數圖象是中心對稱圖形，對稱中心是原點；反比例函數的圖象也是軸對稱圖形，其對稱軸為y=x或y=-x；反比例函數圖象上的點關於座標原點對稱。

反比例函數的對稱性

圖象關於原點對稱。若設正比例函數y=mx與反比例函數交於A、B兩點（m、n同號），那麼A、B兩點關於原點對稱。

反比例函數關於正比例函數y=±x軸對稱，並且關於原點中心對稱。

反比例函數應用舉例

反比例函數例1

反比例函數圖象上有一點P（m，n）其座標是關於t的一元二次方程t^2+3t+k=0的兩根，且P到原點的距離為根號13，求該反比例函數的解析式．

分析：

要求反比例函數解析式，就是要求出k，為此大家就需要列出一個關於k的方程．

解：∵m，n是關於t的方程的兩根

∴m+n=-3，mn=k，

又∵P到原點的距離為根號13

m＾2+n＾2=13，m+n=-3;

∴(m+n)＾2-2mn=13，m+n=-3；

∴9-2k=13

∴k=-2

∴該反比例函數的解析式為y=-2/x.

反比例函數例2

直線與位於第二象限的雙曲線相交於A、A1兩點，過其中一點A向x、y軸作垂線，垂足分別為B、C，矩形ABOC的面積為6，求：

（1）求雙曲線的解析式

分析：矩形aboc的邊AB和AC分別是A點到x軸和y軸的垂線段，設A點座標為（m，n），則AB=|n|，AC=|m|，

根據矩形的面積公式知|m·n|=6.

由已知條件知，該雙曲線位於第二、四象限，因此，A點座標值異號，

即雙曲線的解析式為xy=-6.例3

已知一次函數y=-x+6和反比例函數y=k/x（k≠0）

（2）k滿足什麼條件時，這兩個函數在同一座標系中的圖像有兩個交點。

（3）當圖像有兩個交點時（設為A和B），判斷∠AOB是鋭角、鈍角還是直角。説明理由。解（1）一次函數y=-x+6和反比例函數y=k/x（k不等於零）有兩個交點，即

化簡的有兩個交點，則方程有兩個不同的解

即所以k<9且k不等於0

（2）當0第一象限所以∠AOB是鋭角，當k＜0時，兩交點分別在第二和第四象限所以∠AOB是鈍角

反比例函數例3

已知函數.

（1）當m為何值時，y是x的正比例函數。

（2）當m為何值時，y是x的反比例函數。

解（1）正比例函數則x次數是1

(m-2)(m+1)=0

m=2，m=-1

係數不等於0

m-1≠0

所以m=2，m=-1

（2）反比例函數則x次數是-1

m(m-1)=0

m=0，m=1

係數不等於0

m-1≠0

所以捨去m=1

因此m=0

反比例函數例4

一矩形的面積為24，則該矩形的長x cm與寬y cm之間的關係是什麼？請寫出函數表達式，若要求矩形的各邊長均為整數，請畫出所有可能的的矩形。

解：面積xy=24

函數表達式(x>0)

矩形的各邊長均為整數

可以取x=1，2，3，4，6，8，12，24

反比例函數知識與概念

反比例函數概念理解

形如

(k為常數且k≠0)的函數，叫做反比例函數。

自變量x的取值範圍是不等於0的一切實數。

反比例函數圖象性質：反比例函數的圖象為雙曲線。

由於反比例函數屬於奇函數，有對稱中心，圖象關於原點對稱。

另外，從反比例函數的解析式可以得出，在反比例函數的圖象上任取一點，向兩個座標軸作垂線，這點、兩個垂足及原點所圍成的矩形面積是定值，為∣k∣。

如圖，上面給出了k分別為正和負（2和-2）時的函數圖象。

當k>0時，反比例函數圖象經過一，三象限，是減函數

當k<0時，反比例函數圖象經過二，四象限，是增函數

反比例函數圖象只能無限趨向於座標軸，無法和座標軸相交。^[1]

反比例函數重點知識

過反比例函數圖象上任意一點作兩座標軸的垂線段，這兩條垂線段與座標軸圍成的矩形的面積為|k|。
對於雙曲線，若在分母上加減任意一個實數m（m為常數），就相當於將雙曲線圖象向左或右平移m個單位。（加一個數時向左平移，減一個數時向右平移）^[1]

反比例函數延伸

設n為正整數，則n的所有取值所對應的函數

交於（1，1）和（-1，-1），且當n越大並且x>1時，圖像離座標軸近；當n越大並且0x時，圖像離座標軸近。