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奇函數
鎖定
- 中文名
- 奇函數
- 外文名
- odd function
- 公 式
- f(-x)= - f(x)
- 特 點
- 定義域關於原點對稱
- 提出者
- 歐拉
- 提出時間
- 1727年
- 出 處
- 反彈道問題
奇函數定義
反之,滿足
的函數
一定是奇函數。例如:
奇函數性質
3. 兩個奇函數相乘所得的積或相除所得的商為偶函數。
4. 一個偶函數與一個奇函數相乘所得的積或相除所得的商為奇函數。
奇函數特點
1.奇函數圖象關於原點
對稱。
2.奇函數的定義域必須關於原點
對稱,否則不能成為奇函數。
3.若
為奇函數,且在x=0處有意義,則
.
4.設
在定義域
上可導,若
在
上為奇函數,則
在
上為偶函數。
即
對其求導f'(x)=[-f(-x)]'(-x)'=-f'(-x)(-1)=f'(-x)
奇函數發展
奇函數歐拉最早定義
若用-x代替x,函數保持不變,則稱這樣的函數為偶函數(拉丁文functionespares)。歐拉列舉了三類偶函數和三類奇函數,並討論了奇偶函數的性質。法國 數學家達朗貝 爾(J.R.D.Alembert,1717-1783)在狄德羅(D.Diderot,1713-1784)主編的《大百科全書》第7卷(1757年出版)關於函數的詞條中説:“古代幾何學家,更確切地説 是古代分析學家,將某個量x的不同次冪稱為x的函數.”類似地,法國數學家拉格朗日《解析函數論》(1797)開篇中也説,早期分析學家們使用“函數”這個詞,只是表示“同一個量的不同次冪”,後來,其涵義被推廣,表示“以任一方式得自其他量的所有量”,萊布尼茨和約翰· 伯努利最早採用了後一涵義。在1727年的論文中,歐拉在討論奇、偶函數時確實沒有涉及任何超越函數。因此,最早的奇、偶函數概念都是針對冪函數以及相關複合函數而言,歐拉提出的“ 奇函數”、“偶函數”之名顯然源於冪函數的指數或指數分子的奇偶性:指數為偶數的冪函數為偶函數, 指數為奇數的冪函數為奇函數。
奇函數歐拉拓展概念
1748年,歐拉出版他的數學名著《無窮分析引論》,將函數確立為分析學的最基本的研究對象
[1]
。在第一章,他給出了函數的定義、對函數進行了分類,並再次討論了兩類特殊的函數:偶函數和奇函數。歐拉給出的奇、偶函數定義與1727年論文中的定義實質上並無二致,但他討論了更多類型的奇、偶函數,也給出了奇函數的更多的性質。
奇函數歐拉的困惑
歐拉認為,函數
與函數
是等價的,所以儘管奇函數與偶函數的乘積為奇函數,但有時這樣的乘積也可能會是偶函數。鑑於此,歐拉提出,要使一個偶函數的冪仍為偶函數,就必須對冪指數進行限制,特別的,如果指數為分數, 那麼它的分母就不能為偶數。在將偶函數定義為
和
的複合函數時,歐拉特別增加了一個限制條件:
中不能含有
之類的根式。顯然,歐拉未能區別函數
和函數
。
奇函數後世發展演變
1786年 ,法國人裴奇(F.pezzi)將《 無窮分析引論》 第1卷譯成了法文,“奇函數”和“偶函數”分別被譯為“fonction paire”“fonction impaire”,這是兩個數學名詞在法文中的首次出現
[1]
。
1792年,法國數學家勒讓德(A.Legendre)(1752-1833)向科學院提交論文“關於橢圓超越性”中提出了“正弦函數的偶函數”。勒讓德可能沿用了裴奇的譯名或直接翻譯了歐拉的名詞。這裏我們需要指出的是,將“偶函數”“奇函數”的拉丁文翻譯成對應的法文,並不會產生不同的譯法,因為最遲在笛卡兒(R.Descartes,1596-1650)的《 幾何學》 中已經有了法文的“偶 數”(nombres pairs)和“奇數”(nombres impairs)之名。
“奇函數”、“偶函數”這兩個名稱在18世紀末的法國並未得到普遍使用;或者説,函數的奇偶性還沒有受到當時法國數學家的普遍關注。1796年,法國數學家拉貝將《無窮分析引論》全書譯成法文,其中拉貝同樣將“奇函數”、“偶函數”分別譯為“fonction paire”“fonction impaire”
1809年,蘇格蘭數學家華里司(W.Wallace,1768-1843)將勒讓德的論文譯成英文, 發表在《數學文庫》(MathematicsRepository)上
[1]
。華里司很自然地將 “function paire”譯為“even function”。這是“even function”這個詞在英語世界中的首次出現。不過,在英國著名數學家胡頓(C.Hutton,1737-1823)於1815年出版的《數學與哲學辭典》中,雖然有“函數”和“微積分中的函數”這兩個詞條,但奇、偶函數念卻付之闕如。而德摩根的《代數學基礎》(偉烈亞力和李善蘭譯為《代數學》)雖對函數進行了清晰地分類,但仍隻字未提奇、偶函數。在美 國,數學家羅密士(E.Loomis,1811-1889)的微積分暢銷書《解析幾何與微積分基礎》(李善蘭與偉烈亞力譯為《代微積拾級》)雖然給出了隱函數、顯函數、增 函 數、減函數之名,但同樣不含奇、偶函數之説。這説明,奇、偶函數概念以及華里司所引入的新名詞在19世紀上半葉的英語世界裏尚未得到廣泛傳播和普遍關注.相應地,兩個概念也就不見於中國晚清的西方數學譯著。直到20世紀初,兩個概念才傳入中國。1938年出版的《算學名詞彙編》 和1945年出版的《數學名詞》 中都收錄了兩個名詞。
奇函數例子
常見的奇函數有
等。
對於函數
,當
時,
既是奇函數又是偶函數,當
時,
是奇函數;當
時,
是偶函數。
- 參考資料
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- 1. 奇偶函數考源 .中國知網.2014[引用日期2016-11-19]
- 2. 奇偶函數及其性質研究 .中國知網.2009[引用日期2016-11-19]
- 3. 奇函數的性質f(0)=0的探討 .中國知網.2015[引用日期2016-11-19]
- 4. 武增明.巧用奇函數的一個性質簡解一類最值問題[J].中學數學月刊,2009(11):47-47