有理函數

設V為不可約仿射簇，座標環k[V]為整環，故存在商域k(V)，稱為V的函數域，其元為V上的一個有理函數。 ^[3] 

有理函數是通過多項式的加減乘除得到的函數。

在數學中，理性函數是可以由有理分數定義的任何函數，即代數分數，使得分子和分母都是多項式。 多項式的係數不需要是有理數，它們可以在任何字段K中進行。變量的情況可以在包含K的任何字段L中進行。函數的域是變量，分母不為零，代碼區為L。

一個有理函數h可以寫成如下形式：h=f/g，這裏 f 和 g 都是多項式函數。有理函數是特殊的亞純函數， 它的零點和極點個數有限。

有理函數全體構成所謂的有理函數域。

在實數範圍內，無限不循環的小數叫做無理數，一般通過開平方得到。在二次函數裏面，如 y=a*x^2+b*x+c，如果△≥0，那麼 y=0 有實數解；如果△<0，那麼 y=0 沒有實數解，但有虛數解。

在抽象代數中，多項式的概念被擴展為包括可以從任何字段獲取多項式的係數的形式表達式。在給定場F和一些不確定X的這個設置中，有理表達式是多項式環F [X]的分數場的任何元素。任何合理的表達式都可以被寫為具有Q≠0的兩個多項式P / Q的商，儘管該表示不是唯一的。當PS = QR時，P / Q等於R / S，對於多項式P，Q，R和S。然而，由於F [X]是唯一的因式分解域，對於任何理性表達式P / Q，存在具有最低度的P和Q多項式的Q / Q的唯一表示，並且Q選為monic。這類似於通過取消常見因素，通常可以以最低的值唯一地寫入整數的一部分。

理性表達領域被表示為F（X）。據説這個字段是通過（超越元素）X生成的（作為一個字段），因為F（X）不包含含有F和元素X的任何適當的子字段。 ^[2] 

函數f(x)被稱為有理函數，當且僅當它可以以表單形式： ^[1] 

其中P和Q是x中的多項式，Q不是零多項式。域f是所有點x的集合，分母Q(x)不為零。

但是，如果P和Q具有非常數多項式最大公約數R，則設置

R和Q=

滿足：

其可以具有比f(x)更大的域，並且等於f(x)的域上的f (X)域。 識別f(x)和

是一種常見的用法，即擴展“連續性” f(x)為

。 實際上，可以將合理的分數定義為多項式分數的等價類，其中兩個分數：

當

被認為是等價的。

在這種情況下

和

是等價的。

這些對象首先在學校代數中遇到。在更高級的數學中，他們在環形理論中發揮重要作用，特別是在現場擴展的建設中。他們還提供了一個nonarchimedean領域的例子。

在函數的插值和近似的數值分析中使用Rational函數，例如HenriPadé介紹的Padé近似。關於理性函數的近似非常適合於計算機代數系統和其他數值軟件。像多項式一樣，它們可以被直接評估，並且同時它們表現出比多項式更多樣化的行為。

理性函數用於近似或模擬科學和工程中更復雜的方程，包括物理學領域和力量，分析化學中的光譜學，生物化學中的酶動力學，電子電路，空氣動力學，體內藥物濃度，原子和分子的波函數，光學和攝影，以提高圖像分辨率，聲學和聲音[需要引用]。

在信號處理中，具有無限脈衝響應的常用線性時不變系統（濾波器）的脈衝響應的拉普拉斯變換（用於連續系統）或z變換（用於離散時間系統）是複數的理性函數。

有理函數

沒有在x=

中定義。當x逼近無窮大時，它是漸近於

的。

理性函數

定義為所有實數，但不適用於所有複數，因為如果x是-1的平方根（即虛數單位或其負數），則正式評估將導致被零除，

這是未定義的。

常數函數如f（x）=π是一個有理函數，因為常數是多項式。請注意，函數本身是理性的，即使f（x）的值對於所有x都是不合理的。

當Q（x）=1時，每個多項式函數f(x)=

是有理函數。不能以這種形式寫入的函數，如f（x）= \sin（x）形容詞“不合理”通常不用於功能。

對於除0之外的所有x，理性函數f（x）=

等於1，一個可移動的奇點。兩個理性函數的和，乘積或商（除零次多項式）本身就是一個理性函數。然而，除非要注意，否則減少到標準形式的過程可能會無意中導致除去這些奇異點。使用有理函數的定義作為等價類來解決這個問題，因為x / x等於1/1。

任何有理函數的泰勒級數的係數滿足線性遞推關係，可以通過設置等價於其泰勒級數的合理函數和收集類似項來找到。

例如，

乘以分母並整理得，

在調整總和的索引以獲得相同的x的權力後，我們得到，

結合類似術語給出：

由於這對於原始泰勒級數的收斂半徑中的所有x都是正確的，所以我們可以計算如下。 由於左邊的常數值必須等於右邊的常數項

。

那麼，由於在左邊沒有x的係數，所以右邊的所有係數都必須為零，從而遵循這一點：

相反，當用作泰勒級數的係數時，滿足線性重複的任何序列確定有理函數。 這在解決這種復現中是有用的，因為通過使用部分分數分解，我們可以寫出任何有理函數作為1 /（ax + b）形式的因子的總和，並將其擴展為幾何系列，給出泰勒係數的顯式公式; 這是生成函數的方法。

在複分析中，有理函數：

是具有復係數的兩個多項式的比率，其中Q不是零多項式，P和Q沒有公因子（這避免了f取不確定值0/0）。 f的域和範圍通常被認為是黎曼球體，這避免了在函數極點（其中Q（z）為0）的特殊處理的任何需要。

有理函數的程度是其組成多項式P和Q的度的最大值。如果f的度為d，則方程f(z)=w在z中有不同的解，除了w的某些值，稱為臨界值，其中兩個或多個解相符。具有1級的有理函數稱為莫比斯變換，並形成了黎曼球的自動組。 有理函數是擬態函數的代表性例子。

像多項式一樣，有理表達式也可以通過將F（X1，...，Xn）的分數的領域F（X1，...）表示為n個不確定的X1，...，Xn，XN）。