黎曼球

無窮遠點的算數有時和一般的代數規則不符，因此擴充複數不構成一個代數域。但是，黎曼球面在幾何和解析角度都行為良好，甚至在無窮遠點也不例外；它是一個一維複流形，也稱黎曼曲面。

複分析中，黎曼球面對於亞純函數這個優雅的理論很有幫助。黎曼球面在射影幾何和代數幾何中作為複流形、射影空間和代數簇的基本例子到處出現。它在涉及分析和幾何的其他學科也很有用，譬如量子力學和物理學其他分支。

作為一維複流形，黎曼曲面可以由兩個圖卡描述，每個的定義域都是複數平面C.令ζ和ξ為C上的復座標。將非零複數ζ和非零複數ξ用如下轉移映射等同起來：

ζ = 1 / ξ,ξ = 1 / ζ.因為這些變換映射為全純函數，他們定義了一個複流形，稱為黎曼球面。

直觀地來看，這些變換映射表示瞭如何將兩個平面粘合成一個黎曼球面。兩個面用一種"從裏翻出來"的方式粘合，所以他們幾乎處處重合，每個平面（用自己的原點）貢獻對方平面上缺少的一點。換言之，（幾乎）所有黎曼球面上的點既有ζ值也有ξ值，而兩個值由ζ = 1 / ξ關聯。ξ = 0處的點應該具有ζ-value "1 / 0"；從這個意義上講，ξ-圖的原點是ζ-圖上的"∞"。對稱地，ζ-圖的原點對應於ξ-圖上的∞.

拓撲上，最後的結果是從平面到球面的單點緊緻化。但是，黎曼球面不單單是一個拓撲球面。它是具有復結構的拓撲球面，所以球面上的每個點都有一個領域可以通過雙全純函數和C同胚。

另一方面，黎曼曲面分類的的中心結果單值化定理，斷言唯一的單連通一維複流形為複平面、雙曲平面、和黎曼球面。在這三者中，黎曼球面是唯一的閉曲面（無邊界的緊緻曲面）。因此二維球面只有唯一的復結構將它變為一維複流形。

黎曼球面也可以定義為復射影線。這也就是的C2子集，由所有非零複數對(α,β)構成，模如下等價關係:

(α,β) = (λα,λβ)對於所有非零複數λ成立。複平面C用座標ζ，可以映射到復射影線：

(α,β) = (ζ,1).另一個C用座標ξ也映射到復射影線

(α,β) = (1,ξ).這兩個復圖覆蓋整個射影線。對於非零ξ，等同關係：

(1,ξ) = (1 / ξ,1) = (ζ,1)給出了變換映射ζ = 1 / ξ和ξ = 1 / ζ，同上文一致。

這個黎曼球面的定義和射影幾何直接相關。例如任何復射影平面上的直線(或者光滑圓錐曲線)雙全純等價於復射影線。這個表達對於研究下文所述的球面的自同構也很方便。

從複數A到黎曼球面上的一點α的球極投影。

黎曼球面可以顯示為三維實空間R3中的單位球面x + y + z = 1.為此，考慮從單位球減去一點(0,0,1)到（赤道）平面z = 0的球極投影，可以將該平面等同於複平面ζ = x + iy.在笛卡爾座標系(x,y,z)和球面座標系(φ,θ)中（其中φ為天頂角而θ為方位角），該投影為

類似的，從(0,0, − 1)到z = 0平面的球極投影將另一份複平面ξ = x − iy等同於赤道平面，記為

（兩份複平面和平面z = 0的對應方式不同。必須使用定向翻轉來保證球面上定向的一致性，實際上覆共軛使得變換映射成為全純函數。）ζ-座標和ξ-座標之間的變換函數可以通過將其中一個映射和另一個的逆的複合得到。它們就是如上所述的ζ = 1 / ξ和ξ = 1 / ζ。因此單位球面和黎曼球面微分同胚。

在這個微分同胚下，ζ-圖中的單位圓，ξ-圖中的單位圓，以及單位球面的赤道可以等同起來。單位圓盤 | ζ | < 1和南半球面z ＜ 0，單位圓盤 | ξ | ＜ 1和北半球面z > 0分別等同。

黎曼曲面沒有特定的黎曼度量。但是，黎曼曲面的復結構的確在共形等價下確定了唯一的度量。（兩個度量稱為共形等價，如果他們的區別只是一個正光滑函數的因子。）反過來，可定向曲面上的任意度量唯一的決定一個復結構，該結構在共形等價下依賴於該度量。因此可定向曲面的復結構和該曲面上的度量的共形類有一一對應。

給定共形類，可以用共形對稱性找到一個有合適屬性的代表度量。精確地講，每個共形類總是有一個常曲率完備度量。

在黎曼球面的情況，高斯-博內定理表明常曲率度量必須有正的曲率K。因而該度量必須通過球極投影等度於R3中半徑為1/√K的球面。對於黎曼球面上的ζ-圖，K = 1度量可以給出如下：

在實座標ζ = u + iv中，該公式為：

除了一個常數因子，該度量和復射影空間（黎曼球面就是一個特例）中的富比尼-施圖迪度量一樣。

反過來，令S代表（作為微分流形或者拓撲流形的）球面。按照單值化定理，存在唯一的S上的復結構。由此可見，S上的度量和球面度量共形等價。所有這樣的度量構成一個共形類。因此"圓球"度量不是黎曼球面的內在度量，因為"圓形"並不是共形幾何的不變量。黎曼球面只是一個共形流形而非黎曼流形。但是，如果需要用到黎曼球面上的黎曼度量，圓形度量是一個很自然的選擇。

作用於球面上以及作用於球極投影的平面上的莫比烏斯變換。

主條目：莫比烏斯變換理解數學對象的自同構羣有助於對該對象的研究，自同構也就是對象到自身保持其基本結構不變的映射。對於黎曼球面，自同構就是黎曼球面到自身的可逆雙全純映射。唯一可能的這樣的映射只有莫比烏斯變換。這些變換有如下形式：

其中a、b、c、和d為複數，滿足ad-bc≠0.莫比烏斯變換的例子包括膨脹，旋轉，平移，和復倒數。事實上，所有莫比烏斯變換可以有這些特例的複合得到。

將莫比烏斯變換視作復射影線上的變換很有益。在射影座標下，變換f可以寫作

這樣，莫比烏斯變換可以表述為行列式非零的2*2復矩陣；兩個矩陣產生同樣的莫比烏斯變換當且僅當他們只差一個非零常數。這樣莫比烏斯邊喊恰好對應於射影線性變換PGL2(c).

如果賦予黎曼球面富比尼-施圖迪度量，則不是所有的莫比烏斯變換是等度的；例如膨脹和平移就不是。等度變換構成PGL2(c)的一個子羣，也即PSU2.該子羣同構於旋轉羣SO(3)，它是單位球在R3中的等度羣。

複分析中，複平面（或者任何黎曼曲面）上的的亞純函數是兩個全純函數f和g的比值f / g.作為到複數的映射，任何g為零的地方，它就沒有定義。但是，它引出了一個全純映射(f,g)到復射影線，甚至在g = 0處也有定義。這個構造對於研究全純和亞純函數很有用。例如，緊緻黎曼曲面上不存在存在非常數復值全純映射，但是有很多到復射影線上的全純映射。

黎曼球面有很多物理中的應用。量子力學中，復射影線上的點是光子極化態，自旋為1/2的重亞原子粒子和一般二態粒子的的自旋態的自然取值。黎曼球面被推薦為天體球面的廣義相對論模型。弦論中，弦的世界面是黎曼曲面，而黎曼球面作為最簡單的黎曼曲面有重要的作用。它在扭子理論中也很重要。