行列式

是由排成n階方陣形式的n²個數a_ij(i,j=1,2,...,n)確定的一個數，其值為n!項之和

式中k₁,k₂,...,k_n是將序列1,2,...,n的元素次序交換k次所得到的一個序列，Σ號表示對k₁,k₂,...,k_n取遍1,2,...,n的一切排列求和，那麼數D稱為n階方陣相應的行列式.例如，四階行列式是4!個形為

的項的和，而其中a₁₃a₂₁a₃₄a₄₂相應於k=3,即該項前端的符號應為(-1）³.

若n階方陣A=(a_ij),則A相應的行列式D記作D=|A|=detA=det(a_ij)

若矩陣A相應的行列式D=0，稱A為奇異矩陣，否則稱為非奇異矩陣.

標號集：序列1,2,...,n中任取k個元素i₁,i₂,...,i_k滿足1≤i₁2<...k≤n(1)

i₁,i₂,...,i_k構成{1,2,...,n}的一個具有k個元素的子列，{1,2,...,n}的具有k個元素的滿足(1)的子列的全體記作C(n,k),顯然C(n,k)共有

個子列.因此C(n,k)是一個具有個元素的標號集（參見第二十一章，1，二），C(n,k)的元素記作σ,τ,...,σ∈C(n,k)表示

σ={i₁,i₂,...,i_k}

是{1,2,...,n}的滿足(1)的一個子列.若令τ={j₁,j₂,...,j_k}∈C(n,k),則σ=τ表示i₁=j₁,i₂=j₂,...,i_k=j_k。

①行列式A中某行(或列)用同一數k乘,其結果等於kA。

②行列式A等於其轉置行列式A^T(A^T的第i行為A的第i列)。

③若n階行列式|α_ij|中某行(或列);行列式則|α_ij|是兩個行列式的和，這兩個行列式的第i行(或列),一個是b₁,b₂,…,b_n；另一個是с₁，с₂,…,с_n；其餘各行（或列）上的元與|α_ij|的完全一樣。

④行列式A中兩行（或列）互換,其結果等於-A。 ⑤把行列式A的某行（或列）中各元同乘一數後加到另一行（或列）中各對應元上，結果仍然是A。 ^[1]