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行列式
鎖定
- 中文名
- 行列式
- 外文名
- determinant(英文)déterminant(法文)
- 表達式
- D=|A|=detA=det(aij)
- 適用領域
- 數學、物理學
- 應用學科
- 線性代數
- 分 類
- 二階行列式,三階行列式
行列式數學定義
是由排成n階方陣形式的n²個數aij(i,j=1,2,...,n)確定的一個數,其值為n!項之和
式中k1,k2,...,kn是將序列1,2,...,n的元素次序交換k次所得到的一個序列,Σ號表示對k1,k2,...,kn取遍1,2,...,n的一切排列求和,那麼數D稱為n階方陣相應的行列式.例如,四階行列式是4!個形為
的項的和,而其中a13a21a34a42相應於k=3,即該項前端的符號應為(-1)3.
若n階方陣A=(aij),則A相應的行列式D記作D=|A|=detA=det(aij)
若矩陣A相應的行列式D=0,稱A為奇異矩陣,否則稱為非奇異矩陣.
標號集:序列1,2,...,n中任取k個元素i1,i2,...,ik滿足1≤i12<...k≤n(1)
i1,i2,...,ik構成{1,2,...,n}的一個具有k個元素的子列,{1,2,...,n}的具有k個元素的滿足(1)的子列的全體記作C(n,k),顯然C(n,k)共有
個子列.因此C(n,k)是一個具有個元素的標號集(參見第二十一章,1,二),C(n,k)的元素記作σ,τ,...,σ∈C(n,k)表示
σ={i1,i2,...,ik}
是{1,2,...,n}的滿足(1)的一個子列.若令τ={j1,j2,...,jk}∈C(n,k),則σ=τ表示i1=j1,i2=j2,...,ik=jk。
行列式性質
①行列式A中某行(或列)用同一數k乘,其結果等於kA。
②行列式A等於其轉置行列式AT(AT的第i行為A的第i列)。
③若n階行列式|αij|中某行(或列);行列式則|αij|是兩個行列式的和,這兩個行列式的第i行(或列),一個是b1,b2,…,bn;另一個是с1,с2,…,сn;其餘各行(或列)上的元與|αij|的完全一樣。