代數簇

代數簇是代數幾何裏最基本的研究對象。 通俗的講代數簇就是有若干多元多項式方程定義的公共零點集。如果代數簇恰好可以用一個方程定義，就稱為超曲面。 ^[1] 

最簡單的代數簇，就是：

d次平面代數曲線： 由方程 f(x,y,z)=0定義， 此處f(x,y,z)是齊次的三元d次多項式。

d=1,2 的曲線同構與射影直線；

d=3 就是橢圓曲線,其標準定義方程為:z*y^2=x*(x-z)*(x-λ*z),此處λ是參數。

d=4就是虧格3曲線。

更一般的，我們有光滑曲線的虧格公式：g=(d-1)(d-2)/2，此處g是曲線虧格。

代數幾何是研究多項式方程組在仿射或射影空間裏的公共零點集合的幾何特性的數學分支學科。換言之，它是研究代數簇的。代數幾何與許多其他數學分支有着密切的聯繫。通常假設代數簇V中點的座標在某個固定域k中選取，k稱為V的基域。V為不可約(即V不能分解成兩個比它小的閉代數子簇的並)時，V上所有有理函數(即兩個多項式的商)全體也構成一個域，稱為V的有理函數域，它是k的一個有限生成擴域。通過這樣的一個對應關係，代數幾何可以看成是用幾何的語言和觀點來研究有限生成擴域。

代數幾何的基本問題就是代數簇的分類。包括雙有理分類與雙正則分類(即同構分類).若一個代數簇V₁到另一個代數簇V₂的映射誘導了函數域之間的同構，則稱該映射為雙有理映射。設有兩個代數簇V₁，V₂，若V₁中有一個稠密開集同構於V₂的一個稠密開集，則稱V₁，V₂是雙有理等價的。這等價於V₁和V₂的函數域之間的同構。按這個等價關係對代數簇進行分類就稱為雙有理分類。

分類理論是這樣建立的：首先，找出代數簇的雙有理等價類；其次，在這個等價類中找到一個好對象的子集，如非奇異射影簇，對它們進行分類；第三步就是確定一個任意簇與這些好的對象相差多遠。因為任意特徵0的基域上的代數簇都雙有理等價於一個非奇異射影簇，所以為實現這三步，人們往往先找一組與非奇異射影簇對應的整數，稱為它的數值不變量。例如，在射影簇的情形，它的各階上同調空間的維數就都是數值不變量。然後試圖在所有具有相同的數值不變量的代數簇的集合上建立一個自然的代數結構，稱為它們的參量簇，使得當參量簇中的點在某個代數結構中變化時，對應的代數簇也在相應的代數結構中變化。目前，只有代數曲線、一部分代數曲面以及少數特殊的高維代數簇有較完整的分類。

20世紀初期，由於抽象代數方法的引入，抽象域上的代數幾何理論建立起來了。特別是在20世紀50年代，塞爾(Serre，J.P.)把代數簇的理論建立在層的概念上，並建立了凝聚層的上同調理論，這為格羅騰迪克(Grothendieck，A.)隨後建立概形理論奠定了基礎。概形理論的建立使代數幾何的研究進入了一個全新的階段。概形的概念是代數簇的推廣。粗淺地，它允許點的座標在任意有單位元的交換環中選取，並允許結構層中有冪零元。概形理論把代數幾何和代數數域的算術統一到了一個共同的語言之下，這使得在代數數論的研究中可以應用代數幾何中大量的概念、方法和結果。 ^[2] 

20世紀以來，複數域上代數幾何中的超越方法也有重大的進展，例如，德·拉姆(de Rham，G.-W.)的解析上同調理論，霍奇(Hodge，W.V.D.)的調和積分理論的應用，小平邦彥和斯潘塞(Spencer，D.C.)的變形理論以及格里菲思(Griffiths，P.)的一些重要工作。這使得代數幾何的研究可以應用偏微分方程、微分幾何、拓撲學等理論。

代數簇是代數幾何的基本研究對象。設k是一個域，域k上的代數簇就是一個整的、分離、有限型k概形。這裏的基域k往往被取作代數閉域。若一個代數簇又是射影、擬射影、仿射或正常k概形，則把這個代數簇相應地稱為射影、擬射影、仿射、完備(代數)簇。射影簇必定是完備簇，反之則不然。永田定理斷言：對任意的代數簇X，必存在一個完備簇

，使得X→

是開浸入.代數簇的概念最早是在20世紀20年代由範·德·瓦爾登(Van der Waerden，B.L.)和諾特(Noether，E.)等提出的，以後又經過韋伊(Weil，A.)、塞爾(Serre，J.P.)等人的發展，直至格羅騰迪克(Grothendieck，A.)把它納入概形體系，才得到上述的現代定義。 ^[3] 

設S是一個概型，φ是概型X到S的態射，則稱X是一個S-概型，如果S=SpecR，則稱X是一個R-概型。設f是概型X到Y的態射，如果△_X/Y： X→X_xYX，x→(x，x)是閉的浸入，則稱X在Y上可分，若Y=SpecR，則稱X是可分的。態射f：X→Y稱為有限型的，如果存在Y的仿射開覆蓋{Y_λ|λ∈∧} 使得每個X_λ=f(Y_λ) 可以被有限個仿射開子集 覆蓋，而X_λj=SpecB_λj，Yλ=SpecA_λ每個B_λj是有限生成的A_λ代數。

若X→SpecR是有限型的，則稱X是R-代數的。設k是一個代數閉域，V是一個整的，可分的在k上代數的k-概型，則我們稱V是k上的一個代數簇。設(X，φ)，(Y，φ)是S-概型，f： X→Y是態射，如果→f=φ，則稱f是S-態射。設X，Y是R-概型，令E*={ (U，φ)|U是X的稠密開子集，φ：U→Y是R-態射}，在E*上引入等價關係 (U，φ)～ (V，φ) 當且僅當對於U∩V的某個稠密開子集W，|w=Φ|W。E*/～的元素稱為有理映射，若Y=Spec_R[X]，則稱為有理函數，X上所有有理函數的集合記作Rat_R(X)。若V是域k上的代數簇，則Rat_R(V)稱為V的函數域。設f是X到Y的有理映射，如果存在(U，φ)∈f，使得φ(U)是Y的稠密子集，則稱f是控制的。

設V，W是代數簇，f：V→W是控制的有理映射，如果存在有理映射g：W→V使得g◦f是恆等映射，則稱f是雙有理映射。V到V的所有雙有理映射作成一個羣，稱為V的雙有理同構羣。如果有V到W的雙有理映射，則稱V與W雙有理等價。一維的代數簇稱為曲線，二維的代數簇稱為曲面。曲面S上的曲線C是曲面S的一維閉子簇。 ^[4] 

環論是抽象代數學的主要分支之一。它是具有兩個運算的代數系。在非空集合R中定義加法“+”和乘法“·”運算，使得R中任意元a，b，c適合條件：

1.R對加法為交換羣，稱為R的加法羣，記為(R，+);

2.R對乘法適合結合律，即(R，·)是半羣，稱為R的乘法半羣;

3.乘法對加法的左、右分配律成立，即：

a·(b+c)=a·b+a·c (左分配律)，

(b+c)·a=b·a+c·a (右分配律);

則稱R為結合環，簡稱環(通常a·b寫為ab).它是環論研究的主要對象.環論起源於19世紀關於實數域的擴張與分類，以及戴德金(Dedekind，J.W.R.)、哈密頓(Hamilton，W.R.)等人對超複數系的建立和研究.韋德伯恩(Wedderburn，J.H.M.)於1907年給出的結構定理給出代數研究的模式，也成為環結構研究的模式.20世紀20-30年代，諾特(Noether，E.)建立了環的理想理論，阿廷(Artin，E.)又將代數結構定理推廣到有極小條件的環.同時，對非極小條件的環，馮·諾伊曼(von Nenmann，H.)建立了正則環理論，相繼蓋爾範德(Гельфанд，И.М.)創立了賦值環，克魯爾(Krull，W.)建立了局部環理論，以及哥爾迪(Goldie，A.W.)完善了極大條件環理論.

20世紀40年代，根論迅速發展，尤其是雅各布森(Jacobson，N.)於1945年引入的被稱為雅各布森根的概念後，建立了本原環理論、半本原環的結構定理與本原環的稠密性定理，完善和深化了不帶附加條件環的理論.20世紀50年代中期，阿密蘇(Amitsur，S.A.)、庫洛什(Kurosh，A.)創立了根的一般理論，環論已趨完善.另一方面，由羣表示研究的影響，產生模、羣環與分次環的理論.20世紀20年代初，諾特引入了模的概念，並研究模對有限羣表示的作用與環結構之間的關係，用模的語言去刻畫環，特別是20世紀50年代以後，同調代數的迅速發展，使環的理論進入更高層次雖然。

早在1854年，凱萊(Cayley，A.)就引入了羣代數，然而，它的研究是從20世紀30年代開始直到60—70年代，受羣表示論與環的理論的推動才蓬勃發展起來的.20世紀70年代後，由於分次代數的推動，羣代數進入新的階段——交叉積的研究.分次環與模發展的另一動力是交換代數幾何中射影代數簇，20世紀70年代以來，由於非交換代數幾何及羣表示論的推動，環論已進入一個新的階段。

若環R的乘法適合交換律，則稱R為交換環.乘法半羣的左(右)單位元，稱為環R的左(右)單位元.乘法半羣的單位元稱為環R的單位元.(R，+)的零元稱為環R的零元.在一個元構成的環中，零元是單位元，但兩個以上的元構成的環中，零元一定不是單位元.環R的一個非空子集合S，若對R的加法、乘法也構成環，則稱S是R的子環.S是R的子環當且僅當對任意a，b∈S恆有a-b∈S，ab∈S.

比結合環條件較弱的是非結合環，非結合環與代數受量子力學的刺激發展起來，但其研究的方法和思路基本上沿着結合環的格式，並早已趨完整.比結合環更弱的環類是擬環與半環，雖然早在20世紀40年代，就分別由扎森豪斯(Zassenhaus，H.)和範迪維爾(Vandiver，H.S.)提出，但它們的發展是20世紀60年代以來，受自然科學和數學其他分支(如非線性同調代數、非線性幾何、泛函分析、組合數學、動力系統和計算機科學)的推動而迅速成熟起來的，現已成為環論的獨立分支. ^[5]