虧格

虧格是代數幾何和代數拓撲中最基本的概念之一。

定義：若曲面中最多可畫出n條閉合曲線同時不將曲面分開，則稱該曲面虧格為n。

以實的閉曲面為例，虧格g就是曲面上洞眼的個數。 ^[1] 

連接的，可定向的表面的虧格是一個整數，它表示沿着不相交的閉合簡單曲線的最大切割次數，而不會導致曲面斷開。 或者，可以通過關於閉合表面的關係

來定義歐拉特徵X，其中g是虧格。 對於b邊界分量的曲面，方程式為

。 按照外行人士的説法，它是一個物體的“孔”數量（“孔”在圓環孔的意義上解釋;空心球體在這個意義上被認為是零孔）。 一個圓環有一個洞，球體為0，概述所示的綠色表面有2個孔。 ^[2] 

（1）球體S2和圓盤的虧格都是零。

（2）圓環有一個，一個咖啡杯的表面和手柄一樣也都只有一個。

在基本多邊形的文章中給出了g類表面的明確構造。

簡單來説，可定向表面虧格的值等於它具有的“孔”的數量。

連接的，不可取向的封閉表面的不定向虧格，表示連接到球體的交叉數量的正整數。 或者，可以通過關係

來定義關於歐拉特徵X的閉合表面，其中k是不定向屬性。 ^[3] 

例如：

投影飛機有不定方向的虧格。

克萊因瓶有兩個不定方向虧格。

結K的屬被定義為K的所有塞弗特表面的最小類。結一個塞弗特表面是一個多邊形，邊界是結，即與單位圓同構。 這種表面的屬被定義為通過沿着邊界粘合單位盤而獲得的兩個多面體的虧格。

三維手柄體的虧格是整數，表示沿着嵌入式盤的最大切割次數，而不會導致合成三維多面體斷開。 它等於其上的手柄數量。

例如：

（1）球有零個虧格。

（2）實心圓環

有一個虧格。

圖的虧格是最小整數n，使得可以繪製圖而不在具有n個柄（即n個虧格的取向表面）的球體上自己繪製。 因此，平面圖具有0個虧格，因為它可以在沒有自交的球體上繪製。

圖的不定向虧格是最小整數n，使得可以繪製圖而不在具有n個交叉蓋（即，不可取向）虧格n）的不可取向表面的球體上自相交叉。 （這個數字也叫demigenus。）

歐拉虧格是最小整數n，使得圖可以繪製而不在具有n個十字帽的球體上或在具有n / 2個柄的球體上交叉。

在拓撲圖論中，有一些組的虧格的定義。 Arthur T. White介紹了以下概念。 組G的虧格是G的（連接的，無向的）Cayley圖的最小虧格。

圖類虧格問題是NP完整的。

任何投影代數方案X有虧格的兩個相關定義：算術虧格和幾何虧格，當X是具有定義域的代數曲線時，複數，如果X沒有奇異點，則這些定義與應用於X的Riemann表面的拓撲定義（其複數點的多邊形）一致。 例如，代數幾何的橢圓曲線的定義是連接1類非奇異投影曲線與給定的理性點。

球面沒有洞，故g=0；又如環面有一個洞，故g=1。

簡單多面體表面虧格為0，歐拉示性數為2

又以代數曲線為例，一條代數曲線實際上就是實的2維定向緊曲面。所以它的虧格g就是作為曲面的虧格數。

由歐拉公式，我們知道， 歐拉示性數e實際上就等於2-2g。

圖的虧格是最小的整數n使得圖可以不用交叉就畫在有n個柄的球面上(也就是虧格為n的可定向曲面)。這樣，一個平面圖虧格為0，因為可以畫在球面上而沒有自交。 圖的不可定向虧格是最小的整數n使得圖可以不用交叉就畫在有n個交叉帽的球面上(也就是不可定向虧格為n的不可定向曲面)。

在拓撲圖論中，有幾種對羣的虧格的定義。ArthurT.White引入瞭如下概念。羣G的虧格是G的任意（連通，無向）凱萊圖的最小格。

直觀地説，虧格數代表了從球面上連出來的手柄個數。