代數曲線

代數曲線是代數幾何的一個基本概念。一維代數簇稱為代數曲線。任意一條代數曲線都可通過正規化把奇點解消，成為一條光滑曲線。再完備化後就得到一條光滑射影代數曲線。由於光滑射影曲線間的雙有理映射必定是同構映射，因此代數曲線的雙有理分類問題可以歸結為光滑射影代數曲線的雙正則(即同構)分類問題。

以下只考慮複數的情形。這時，復光滑射影代數曲線與緊黎曼面之間有一個一一對應的關係。再考慮這個緊黎曼面上的半純函數域，就得到了一個C的超越次數等於1的擴域。反之，從C的一個超越次數等於1的擴域出發，可以定義一條抽象射影代數曲線.這就是著名的“三位一體”：光滑射影代數曲線、緊黎曼面以及複數域上超越次數為1的有限生成擴域實質上是同一個對象的三種不同表現方式。從而代數曲線的最重要的數值不變量——虧格也可用各種不同的方式來定義：它既是一個拓撲不變量，也是一個可由緊黎曼面上的整體全純微分形式空間的維數或以結構層的第一級上同調空間的維數來定義的代數不變量。 ^[1] 

黎曼(Riemann，(G.F.)B.)首先考慮了虧格g的所有緊黎曼面的參量空間問題，並發現這個參量空間的維數是3g-3(當g≥2時)，但黎曼未能嚴格證明它的存在性。

20世紀中期，由於芒福德(Mumford，D.B.)等人的工作，人們對代數曲線參量空間簇M_g已經有了較深入的瞭解。芒福德把格羅騰迪克(Grothendieck，A.)的概形理論用到古典的不變量理論，創立了幾何不變量理論，並且，用它證明了M_g的存在性及擬射影性。

人們對M_g的結構已有了深入的研究，例如：當g≥23時，M_g是一般型的；當g≤13時，M_g是單有理的。人們猜測，當g<23時，M_g是單直紋的。

黎曼是德國數學家。生於德國漢諾威 (Hannover) 的佈雷塞倫茨(Breselenz)，是牧師之子，在哥廷根 (Gottingen) 大學和梅林大學學習，1851年在哥廷根大學獲得博士學位，1854年任該大學兼職講師，1857年任副教授，1859年作為P. G. L. Dirichlet的繼承人任教授。因患肺病，英年早逝。短短一生中，在數學各個領域作出了劃時代的貢獻。最重要的貢獻有四個方面：幾何學、複變函數論、微分方程和數學分析的基本理論。他是黎曼幾何的創始人，複變函數理論創始人之一。在數學分析方面，他給積分下的標準定義，一直沿用至今，以至於這種意義下的古典積分叫作“黎曼積分”。

黎曼還對傅立葉級數理論做了許多研究，其中最著名的就是以他的名字命名的定理。黎曼對偏微分方程和常微分方程理論，特別是常微分方程的奇點理論，也都創造了一些重要的方法。

黎曼還十分關注自然科學，特別是物理學。他的複變函數和微分方程研究都直接與流體力學和電磁理論相聯繫，著名的數學家克萊因曾在《19世紀數學發展講義》一書中指出： “黎曼用他的數學才能為自然科學本身開闢新的途徑。然後又把自然科學作為形成數學中的新概念的動力”。 ^[2] 

虧格是代數幾何和代數拓撲中最基本的概念之一。定義：若曲面中最多可畫出n條閉合曲線同時不將曲面分開，則稱該曲面虧格為n。

以實的閉曲面為例，虧格 g 就是曲面上洞眼的個數。

每條代數曲線都自帶了一個數值不變量－－－虧格g. 從實流形角度看，虧格就是其上“洞”的個數。

按照虧格的大小，我們可以將代數曲線分類。 比如：

g=0 就稱為射影直線；

g=1 稱為橢圓曲線；

g=2 的曲線都是超橢圓曲線；

g>2 的曲線中存在非超橢圓曲線。 ^[3] 

具有同樣虧格的曲線的等價類組成的集合稱為曲線模空間。 比如

g=0的曲線模空間是由一個點組成；

g=1的橢圓曲線模空間是復上半平面中的一個區域，等等。

曲線的模空間是代數幾何裏最重要的一類幾何對象。 ^[4] 

我們可以考慮定義在代數曲線上的半純函數。 半純函數的零點和極點的集合是由有限個點組成。 我們把這個集合稱為主除子。 更一般的，我們可以定義除子的概念，這裏不再詳述。

除子概念是曲線論裏最基本的概念。 與其相關的一個重要結果就是所謂的黎曼洛赫定理。 這個定理把分析和拓撲巧妙的聯繫起來，揭示出兩者間的深刻關係。

《代數曲線論》 的作者是普呂克爾。該書於 1839年出版，是普呂克爾的最重要的著作。在該書中給出了所謂的“普呂克爾公式”，把平面曲線的階數和虧格數與簡單奇點聯繫起來，證明了 描述代數曲線奇點（在該點有兩兩 不相同的切線）數目的方程。還研究 了四次曲線，他第一個發現這種曲 線有廿八條二重切線，其中至多八 條是實的。

該著作為代數幾何學的發展做出了重要貢獻。普呂克爾還 著有《解析幾何的體系》、《空間 幾何的體系》、《以直線作為空間 元素建立的新空間幾何學》。 ^[5]