主除子

一個卡吉耶除子如果是自然映射

(M^*_X/𝓞^*_X)的像，則稱為主除子。如果兩個卡吉耶除子相差一個主除子，則兩個卡吉耶除子稱為是線性等價的。

[divisor]

在代數幾何中，除子是代數簇的餘維數為1的子簇的推廣。有兩種常用的除子：韋伊除子（Weil divisor）和卡吉耶除子（Cartier divisor）。

韋伊除子就是指代數簇或解析空間X裏餘維數為1的不可約閉子空間Y的形式的有限整線性組合

。當所有的

時，韋伊除子構成一個羣Div（X）。當X是光滑代數簇時。韋伊除子的概念與餘維數為1的代數閉鏈的概念相同。

設X是正規概形，f是X上有理（解析的情形為亞純）函數，主韋伊除子（principal Weil divisor）被典範的定義為

。這裏

是 f 在𝓞_X,Y裏的代表元關於子簇Y的環𝓞_X,Y的離散賦值，

是個整數，且除了有限多個Y之外，

。如果

，其中

則韋伊除子

稱為零點除子（divisor of the zeros），

稱為函數f的極點除子（divisor of the poles）。

若兩個韋伊除子的差是一個主韋伊除子，則稱這兩個除子線性等價（linear equivalent）。Div(X)關於線性等價的商羣稱為概形X的除子類羣（divisor class group），記為CI(X)。

卡吉耶除子是指環空間(X,𝓞_X)上除子的芽層

/𝓞^*_X的一個整體截面。這裏M_X表示X上亞純（或有理）函數的芽層，即使得每個開子集

對應環

(U,𝓞_X）的全分式環的層，而

和𝓞^*_X則分別是

和𝓞_X裏可逆元的層。一個卡吉耶除子可被一族局部方程

所確定，其中{ U_i } 是X的開覆蓋，函數

則是層𝓞^*_X在

上的截面。一個卡吉耶除子如果是自然映射

(M^*_X/𝓞^*_X)的像，則稱為主除子。兩個卡吉耶除子稱為是線性等價的，如果二者相差一個主除子。使得

𝓞^*_Xx的x∈M的集合稱為除子的支集（support of the divisor ）。卡吉耶除子類

(M^*_X/𝓞^*_X)關於線性等價的商羣記為CaCI(X)。 ^[1]