黎曼積分

對於一在區間上之給定非負函數

，我們想要確定

所代表的曲線與

座標軸所夾圖形的面積，我們可以將此記為

黎曼積分的核心思想就是試圖通過無限逼近來確定這個積分值。同時請注意，如

取負值，則相應的面積值

亦取負值。

一個閉區間[a,b]的一個分割P是指在此區間中取一個有限的點列

。每個閉區間

叫做一個子區間。定義

為這些子區間長度的最大值：

，其中

。

再定義取樣分割。一個閉區間[a,b] 的一個取樣分割是指在進行分割

後，於每一個子區間中

取出一點

。

的定義同上。

精細化分割：設

以及

構成了閉區間[a,b] 的一個取樣分割，

和

是另一個分割。如果對於任意

，都存在

使得

，並存在

使得

，那麼就把分割：

、

稱作分割

、

的一個精細化分割。簡單來説，就是説後一個分割是在前一個分割的基礎上添加一些分點和標記。

於是我們可以在此區間的所有取樣分割中定義一個偏序關係，稱作“精細”。如果一個分割是另外一個分割的精細化分割，就説前者比後者更“精細”。

對一個在閉區間[a,b]有定義的實值函數

，

關於取樣分割

、

的黎曼和定義為以下和式：

式中的每一項是子區間長度

與在

處的函數值

的乘積。直觀地説，就是以標記點

到X軸的距離為高，以分割的子區間為長的矩形的面積。

（一列黎曼和。右上角的數字表示矩形面積總和。這列黎曼和趨於一個定值，記為此函數的黎曼積分。）

不太嚴格地來説，黎曼積分就是當分割越來越“精細”的時候，黎曼和趨向的極限。下面的證明中，會對“越來越‘精細’”作出嚴格的定義。

要使得“越來越‘精細’”有效，需要把

趨於0。如此

中的函數值才會與

接近，矩形面積的和與“曲線下方”的面積的差也會越來越小。實際上，這就是黎曼積分定義的大概描述。

嚴格定義如下：

是函數

在閉區間[a,b] 上的黎曼積分，當且僅當對於任意的

，都存在

，使得對於任意的取樣分割

、

，只要它的子區間長度最大值

，就有：

也就是説，對於一個函數

，如果在閉區間[a,b] 上，無論怎樣進行取樣分割，只要它的子區間長度最大值足夠小，函數

的黎曼和都會趨向於一個確定的值，那麼在閉區間[a,b] 上的黎曼積分存在，並且定義為黎曼和的極限，這時候稱函數

為黎曼可積的。

這個定義的缺陷是沒有可操作性，因為要檢驗所有

的取樣分割是難以做到的。下面引進另一個定義，然後證明它們是等價的。

是函數

在閉區間[a,b] 上的黎曼積分，當且僅當對於任意的

，都存在一個取樣分割

、

，使得對於任何比其“精細”的分割

和

，都有：

這兩個定義是等價的。如果有一個

滿足了其中一個定義，那麼它也滿足另一個。首先，如果有一個

滿足第一個定義，那麼只需要在子區間長度最大值

的分割中任取一個。對於比其精細的分割，子區間長度最大值顯然也會小於

，於是滿足

黎曼積分通常被定義為達布積分（即第二個定義），因為達布積分比黎曼積分更簡單、更有可操作性。

黎曼積分是線性變換，也就是説，如果

和

在區間[a,b] 上黎曼可積，

和

是常數，則：

由於一個函數的黎曼積分是一個實數，因此在固定了一個區間[a,b] 後，將一個黎曼可積的函數設到其黎曼積分的映射

是所有黎曼可積的函數空間上的一個線性泛函。

如果函數在區間[a,b] 上幾乎處處（勒貝格測度意義上）大於等於0，那麼它在[a,b] 上的積分也大於等於零。如果

在區間[a,b 上幾乎處處大於等於0，並且它在

上的積分等於0，那麼

幾乎處處為0。

如果函數

在區間[a,c] 和[c,b] 上都可積，那麼

在區間[a,b] 上也可積，並且有

無論a、b、c之間的大小關係如何，以上關係式都成立。

1）[a,b]上的實函數是黎曼可積的，當且僅當它是有界和幾乎處處連續的。

2）如果[a,b]上的實函數是黎曼可積的，則它是勒貝格可積的。

3）如果

是[a,b]上的一個一致收斂序列，其極限為

，那麼：

4）如果一個實函數在區間上是單調的，則它是黎曼可積的，因為其中不連續的點集是可數集 ^[1]  。

黎曼積分可推廣到值屬於

維空間

的函數。積分是線性定義的，特別地，由於複數是實數向量空間，故值為複數的函數也可定義積分。

黎曼積分只定義在有界區間上，擴展到無界區間並不方便。可能最簡單的擴展是通過極限來定義積分，即如同反常積分（improper integral）一樣。

不幸的是，這並不是很合適。平移不變性（如果把一個函數向左或向右平移，它的黎曼積分應該保持不變）喪失了。一般要求積分存在且與積分順序無關。即使這滿足，依然不是我們想要的，因為黎曼積分與一致極限不再具有可交換性。例如，令

在

上，其它域上等於0。對所有

，

。但

一致收斂於0，因此

的積分是0。因此

。即使這是正確的值，可看出對於極限與普通積分可交換的重要準則對反常積分不適用。這限制了黎曼積分的應用 ^[2]  。

一個更好的途徑是拋棄黎曼積分而採用勒貝格積分。雖然勒貝格積分是黎曼積分的擴展這點看上去並不是顯而易見，但不難證明每個黎曼可積函數都是勒貝格可積的，並且當二者都有定義時積分值也是一致的。

事實上黎曼積分的一個直接擴展是Henstock–Kurzweil積分。

擴展黎曼積分的另一種途徑是替換黎曼累加定義中的因子

，粗略地説，這給出另一種意義上長度間距的積分。這是黎曼-斯蒂爾切斯積分所採用的方法 ^[3]