距離

設

是任一非空集，對

中任意兩點

有一實數

與之對應且滿足：

(1)非負性、同一性：

，且

當且僅當

；

(2)對稱性：

；

(3)直遞性：

。

稱

為

中的一個距離，定義了距離

的集

稱為一個距離空間，記為

，在不引起混亂的情形下簡記為

。 ^[1] 

本節共提供三個例子。 ^[2] 

例1 設

是

元實數組全體，令

，

其中，

，

。

我們證明

是一個距離空間，為此我們需要驗證

滿足距離的三條公理。(1)，(2)顯然成立，關鍵是證明(3)成立。我們先證明一下Cauchy不等式：對任意實數

，

，我們有

。

事實上，任取實數

，則

，

上面等式左端是

的一個二次三項式，於是它的判別式不大於0，即Cauchy不等式成立。

下面證明(3)成立，由Cauchy不等式，得

。

設

是任意三點，在上面不等式中令

，則

，

即

。

所以

是一個距離空間，我們把這個空間簡記為

。

例2 考慮區間

上所有連續函數集，設

是

上任意兩個連續函數，定義

，

由於

也是

上的連續函數，因此有最大值。距離公理(1)(2)顯然成立。設

是

上任意三個連續函數，則

。

所以

。

由此可知

上的連續函數全體賦以上述距離

是一個距離空間，記為

。

例3 考慮實數列

的全體。設

是兩個實數列，定義

上式右邊的

是一個收斂因子，保證級數收斂，距離公理的(1)(2)顯然成立，為證明(3)成立，考慮

上的函數

，

易見

，所以

是單增的。由此，設

。由於

，

則有

。

在上不等式兩邊乘

並求和，得到

。

我們稱這個距離空間為

。