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距離空間

鎖定
設X是非空集合，對於X中任意的兩個元素x與y，按某一法則都對應唯一的實數d(x，y)，而且滿足下述三條公理：
(1)(非負性)d(x，y)≥0[d(x，y)=0，當且僅當x=y]；
(2)(對稱性)d(x，y)=d(y，x)；
(3)(三角不等式)對於任意的x，y，z∈X，恆有d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y)。
則稱d(x，y)為x與y的距離，並稱X是以d為距離的距離空間，記作(X，d)。通常，在距離已被定義的情況下，(X，d)可以簡單地將X中的元素稱為X中的點 [1]  。
中文名
距離空間
外文名
metric space
別    名
度量空間
所屬學科
數學
所屬領域
泛函分析
性    質
是一種拓撲空間
類    型
數學術語

目錄

  1. 1 定義
  2. 2 點集
  3. ▪ 開球
  4. ▪ 閉球
  1. ▪ 球面
  2. ▪ 內點
  3. ▪ 開集
  4. ▪ 閉集
  5. ▪ 鄰域
  1. ▪ 聚點
  2. ▪ 導集
  3. ▪ 閉包
  4. ▪ 孤立點

距離空間定義

設X是非空集合，對於X中任意的兩個元素x與y，按某一法則都對應唯一的實數d(x，y)，而且滿足下述三條公理：
(1)(非負性)d(x，y)≥0，[d(x，y)=0，當且僅當x=y]；
(2)(對稱性)d(x，y)=d(y，x)；
(3)(三角不等式)對於任意的x，y，z∈X，恆有d(x，y)≤d(x，z)+d(z，y)。
則稱d(x，y)為x與y的距離，並稱X是以d為距離的距離空間，記作(X，d)。通常，在距離已被定義的情況下，(X，d)可以簡單地將X中的元素稱為X中的點 [1]  。

距離空間點集

這裏用抽象的距離
代替R中的絕對值
，用開球
代替R中的對稱開區間
。
設(X，d)為距離空間，則可依次定義概念 [1]  ：

距離空間開球

設
稱X中的點集
是以
為中心，以
為半徑的開球；又稱為
的
鄰域。

距離空間閉球

設
稱
是以
為中心，以
為半徑的閉球。

距離空間球面

設
稱
是以
點為中心，以
為半徑的球面。

距離空間內點

設
若存在
的
鄰域
則稱點
為E的內點，E的內點全體稱為E的內部記為E。

距離空間開集

設
若G中每一點都是其內點，則稱G為開集。

距離空間閉集

設
若
為開集，則稱F為閉集。

距離空間鄰域

包含
的任一開集均稱為
的一個鄰域，特別稱
是
的球形鄰域，有時也簡稱鄰域。

距離空間聚點

設
若
的每一個鄰域中均含有E的無窮多個點，則稱
為E的聚點或極限點，E的聚點可以在E中也可不在E中，
為E的聚點可等價定義為：
的每個鄰域中含有E的點x，但
。

距離空間導集

E的聚點的全體稱為E的導集，記為
。

距離空間閉包

設
的閉包
定義為 中的點又稱為E的接觸點。可以知道
的充要條件是
因此E的閉包
又可定義為與E的距離為0的一切點的全體，E的聚點(極限點)必是E的接觸點，反之則不然。

距離空間孤立點

、邊界、有界集、直徑
若用
不含在E中的E的聚點集合，則有
(其中
).
設
若
的某一鄰域中沒有除
以外的E的其他點，則稱
為E的孤立點。稱
為E的邊界；設
若
則稱E為有界集；稱
為E的直徑，如果
的直徑
，則E是有界集 [1]  。
參考資料
  • 1.    陸傳賚．泛函分析及其在通信網與信號分析等中的應用：北京郵電大學出版社，2015.01