-
拓撲空間
（拓撲學概念）
鎖定
拓撲空間在現代數學的各個分支都有應用，是一個居於中心地位的、統一性的概念。
- 中文名
- 拓撲空間
- 外文名
- topological space
- 所屬學科
- 一般拓撲學
- 最早研究者
- 法國數學家弗雷
- 最早研究時間
- 1906年
- 地 位
- 中心地位的、統一性的概念
拓撲空間簡介
拓撲空間是一個集合 X和其上定義的拓撲結構組成的二元組
。X的元素 x通常稱為拓撲空間
的點。而拓撲結構一詞涵蓋了開集，閉集，鄰域，開核，閉包，導集，濾子等若干概念。從這些概念出發，可以給拓撲空間
作出若干種等價的定義。
[2]
拓撲空間定義
拓撲空間開集定義
設
是一個集合，
是一些
的子集構成的族，則(
,
)被稱為一個拓撲空間，如果下面的性質成立：
2.
中任意多個元素的並仍屬於
，
3.
中有限個元素的交仍屬於
。
拓撲空間鄰域定義
1. x∈Ux，且對任意x'∈
，
∈
；
2.若Ux⊆V⊆
，則V∈
；
3.對任意Vx∈
，Ux∩Vx∈
；
拓撲空間例子
- 更一般的，n維歐幾里得空間ℝ構成一個拓撲空間，其上的開集就由開球來生成。
- 除了由全體開區間生成的拓撲之外，實數集還可以賦予另外一種拓撲—下限拓撲（lower limit topology）。這種拓撲的開集由下列點集構成—空集、全集和由全體半開區間[a,b)生成的集合。這種拓撲嚴格地細於上面定義的歐幾里得拓撲；在這種拓撲空間中，一個點列收斂於一點，當且僅當，該點列在歐幾里得拓撲中也收斂於這個點。這樣我們就給出了一個集合擁有不同拓撲的示例。
- 流形都是一個拓撲空間。
- 每一個單形都是一個拓撲空間。單形是一種在計算幾何學中非常有用的凸集。在0、1、2和3維空間中，相應的單形分別是點、線段、三角形和四面體。
- 每一個單純復形都是一個拓撲空間。一個單純復形由許多單形構成。許多幾何體都可以通過單純復形—來建立模型，參見多胞形（Polytope）。
- 扎里斯基拓撲是一種純粹由代數來定義的的拓撲，這種拓撲建立在某個環的交換環譜之上或者某個代數簇之上。對R或者C來説，相應扎里斯基拓撲定義的閉集，就是由全體多項式方程的解集合構成。
- 線性圖是一種能推廣圖的許多幾何性質的拓撲空間。
- 泛函分析中的許多算子集合可以獲得一種特殊的拓撲，在這種拓撲空間中某一類函數序列收斂。
- 有限補拓撲。設X是一個集合。X的所有有限子集的補集加上空集，構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為有限補空間。有限補空間是這個集合上最小的T1拓撲。
- 可數補拓撲。設X是一個集合。X的所有可數子集的補集加上空集，構成X上的一個拓撲。相應的拓撲空間稱為可數補空間。
- 如果Γ是一個序數，則集合[0, Γ]是一個拓撲空間，該拓撲可以由區間(a,b]生成，此處a和b是Γ的元素。
拓撲空間構造
- 對任何非空的拓撲空間族，我們可以構造出這些拓撲空間的積上的拓撲，這種拓撲稱為積拓撲。對於有限積來説，積空間上的開集可以由空間族中各個空間的開集的積生成出來。
- Vietoris拓撲
拓撲空間分類
依據點和集合分離的程度、大小、連通程度、緊性等。可以對拓撲空間進行各種各樣的分類。並且由於這些分類產生了許多不同的術語。
以下假設X為一個拓撲空間。
拓撲空間分離公理
詳細資料請參照分離公理以及相關條碼。有些術語在老的文獻中採用了不同地定義方式，請參照分離公理的歷史。
X中兩個點x，y稱為拓撲不可區分的，當且僅當如下結論之一成立：
對X中每個開集U，或者U同時包含x，y兩者，或者同時不包含它們。
x的鄰域系和y的鄰域系相同。
拓撲空間可數公理
- 可分的X稱為可分空間，當且僅當它擁有一個可數的稠密子集。
拓撲空間連通性
- 連通X稱為連通空間，當且僅當它不是兩個無交的非空開集的並。（或等價地，該空間的閉開集（既開又閉的集合）只有空集和全空間兩者）。
- 局部連通X稱為局部連通空間，當且僅當它的每個點都存在一個特殊的鄰域基，這個鄰域基由連通集構成。
- 完全不連通X稱為完全不連通的，當且僅當不存在多於一個點的連通子集。
- 道路連通X稱為道路連通空間，當且僅當其任意兩點x和y，存在從x到y的道路p，也即，存在一個連續映射p:[0,1]→X，滿足p(0)=x且p(1)=y。道路連通的空間總是連通的。
- 局部道路連通X稱為局部道路連通空間，當且僅當其每個點都有一個特殊的鄰域基，這個鄰域基由道路連通集構成。一個局部道路連通空間是連通的，當且僅當它是道路連通的。
- 單連通X稱為單連通空間，當且僅當它是道路連通且每個連續映射
- 可縮X稱為可縮空間，當且僅當它同倫等價到一點。
- 超連通X稱為超連通的，當且僅當任兩個非空開集的交集非空。超連通藴含連通。
- 極連通X稱為極連通的，當且僅當任兩個非空閉集的交集非空。極連通藴含道路連通。
- 平庸的X稱為平庸空間，當且僅當其開集只有本身與空集。
拓撲空間緊性
- 緊性X稱為緊空間，當且僅當其任意開覆蓋都有有限開覆蓋的加細。
- 林德勒夫性質X稱為林德勒夫空間，當且僅當其任意開覆蓋都有可數開覆蓋的加細。
- 仿緊X稱為仿緊空間，當且僅當其任意開覆蓋都有局部有限開覆蓋的加細。
- 可數緊X稱為可數緊空間，當且僅當其任意可數開覆蓋都有限開覆蓋的加細。
- 列緊X稱為列緊的，當且僅當其任意點列都包含收斂子列。
- 偽緊X稱為偽緊空間，當且僅當其上的任意實值連續函數都有界。
拓撲空間可度量化
拓撲空間擁有代數結構
同樣地，可定義拓撲向量空間為一個賦有拓撲結構的向量空間，使得加法與純量乘法是連續映射，這是泛函分析的主題；我們可以類似地定義拓撲環、拓撲域等等。
[5]
結合拓撲與代數結構，往往可以引出相當豐富而實用的理論，例如微分幾何探究的主齊性空間。在代數數論及代數幾何中，人們也常定義適當的拓撲結構以簡化理論，並得到較簡明的陳述；如數論中的局部域（一種拓撲域），伽羅瓦理論中考慮的Krull拓撲（一種特別的拓撲羣），以及定義形式概形所不可少的I-進拓撲（一種拓撲環）等等。
拓撲空間擁有序結構
拓撲空間也可能擁有自然的序結構，例子包括：
譜空間（spectral space）上的序結構。
特殊化預序：定義
。常見於計算機科學。
拓撲空間分離公理描述
主要有下面幾條。
拓撲空間T1分離公理
空間內任何兩個不同的點都各有一個鄰域不含另一點。
拓撲空間豪斯多夫分離公理
（T2分離公理） 空間內任何兩個不同的點都各有鄰域互不相交。
拓撲空間正則分離公理
空間內每一點以及不含該點的任一閉集都各有鄰域互不相交。
拓撲空間完全正則分離公理
對於空間x 內每一點x及不含x的任一閉集B，存在連續映射ƒ∶x→[0,1]，使得ƒ(x)=0且對B內每一點y，ƒ(y)=1。
拓撲空間正規分離公理
空間內任何兩個不相交的閉集都各有鄰域互不相交。
